Option Valuation

Giới Hạn Giá Quyền Chọn

Giới Hạn Trên

Call option: một call không bao giờ có giá trị lớn hơn chính tài sản cơ sở.

$c_0\le S_0\text{(European and American)}$

Put option: một put không bao giờ có giá trị lớn hơn giá strike (đối với European: giá trị hiện tại của strike).

$p_0\le \frac{X}{(1+r{)}^T}\text{(European)}$

$P_0\le X\text{(American)}$

Giới Hạn Dưới

European call (không trả cổ tức):

$c_0\ge \max \left(0,S_0-\frac{X}{(1+r{)}^T}\right)$

European put (không trả cổ tức):

$p_0\ge \max \left(0,\frac{X}{(1+r{)}^T}-S_0\right)$

Giới hạn dưới bằng giá trị thực hiện (exercise value) đã điều chỉnh theo giá trị thời gian của tiền. Nếu quyền chọn giao dịch dưới giới hạn này, cơ hội arbitrage sẽ xuất hiện.

---

Các Yếu Tố Ảnh Hưởng Đến Giá Trị Quyền Chọn

Yếu tố	Giá trị Call	Giá trị Put	Lý giải
$S_0$ (giá spot) $\uparrow$	$\uparrow$	$\downarrow$	Spot tăng → call sâu hơn ITM, put kém ITM hơn
$X$ (strike price) $\uparrow$	$\downarrow$	$\uparrow$	Strike tăng → call kém ITM hơn, put sâu hơn ITM
$T$ (thời gian đến đáo hạn) $\uparrow$	$\uparrow$	$\uparrow$*	Nhiều thời gian hơn → nhiều cơ hội biến động thuận lợi hơn
$r$ (lãi suất phi rủi ro) $\uparrow$	$\uparrow$	$\downarrow$	$r$ cao hơn làm giảm PV của strike
$\sigma$ (volatility) $\uparrow$	$\uparrow$	$\uparrow$	Bất ổn nhiều hơn → giá trị quyền chọn cao hơn
Cổ tức $\uparrow$	$\downarrow$	$\uparrow$	Cổ tức làm giảm giá cổ phiếu vào ngày ex-date

*Đối với European put, tác động của thời gian có thể không rõ ràng với các put sâu trong ITM.

Tác Động Của Volatility

Volatility là yếu tố quan trọng nhất đặc trưng riêng cho quyền chọn (so với forwards). Quyền chọn có payoff bất đối xứng, do đó:

• Volatility cao hơn làm tăng xác suất xảy ra các biến động lớn theo chiều có lợi
• Tổn thất tối đa được giới hạn ở mức phí quyền chọn (premium) đã trả
• Do đó, cả call lẫn put đều tăng giá trị khi volatility tăng

Tác Động Của Lãi Suất Phi Rủi Ro

• Call: $r$ cao hơn → PV của strike thấp hơn → call có giá trị cao hơn
• Put: $r$ cao hơn → PV của strike thấp hơn → put có giá trị thấp hơn

---

Mô Hình Binomial Một Kỳ

Mô hình binomial định giá quyền chọn bằng cách xây dựng một danh mục sao chép (replicating portfolio) trong khung thời gian rời rạc.

Thiết Lập

Tại thời điểm $T$, cổ phiếu có thể di chuyển đến một trong hai giá trị:

$S^{+}=S_0\times u\text{(trạng thaˊi ta˘ng)}$ $S^{-}=S_0\times d\text{(trạng thaˊi giảm)}$

trong đó $u$ = hệ số tăng ($u>1$) và $d$ = hệ số giảm ($d<1$).

Giá Trị Quyền Chọn Tại Mỗi Trạng Thái

$c^{+}=\max (0,S^{+}-X)\text{(payoff của call ở trạng thaˊi ta˘ng)}$ $c^{-}=\max (0,S^{-}-X)\text{(payoff của call ở trạng thaˊi giảm)}$

Hedge Ratio

Hedge ratio (delta, $h$) là số cổ phiếu cần thiết để sao chép quyền chọn:

$h=\frac{c^{+}-c^{-}}{S^{+}-S^{-}}$

Xác Suất Trung Tính Rủi Ro

$\pi =\frac{(1+r)-d}{u-d}$

trong đó:

• $\pi$ = xác suất trung tính rủi ro của một lần tăng giá
• $(1-\pi )$ = xác suất trung tính rủi ro của một lần giảm giá
• $r$ = lãi suất phi rủi ro mỗi kỳ

$\pi$ không phải là xác suất thực tế của việc giá tăng. Đây là xác suất khiến lợi suất kỳ vọng của cổ phiếu bằng lãi suất phi rủi ro.

Giá Quyền Chọn

$c_0=\frac{\pi \cdot c^{+}+(1-\pi )\cdot c^{-}}{1+r}$

Đây là công thức risk-neutral pricing: chiết khấu payoff kỳ vọng (theo xác suất trung tính rủi ro) tại lãi suất phi rủi ro.

Replicating Portfolio

Quyền chọn có thể được sao chép bằng cách:

• Nắm giữ $h$ cổ phiếu của tài sản cơ sở
• Vay hoặc cho vay tại lãi suất phi rủi ro

$c_0=h\cdot S_0+\frac{h\cdot S^{-}-c^{-}}{-(1+r)}$

Mô hình binomial cũng hoạt động với put — chỉ cần thay payoff của call bằng payoff của put: $p^{+}=\max (0,X-S^{+})$ và $p^{-}=\max (0,X-S^{-})$.

---

Những Điểm Chính Cần Ghi Nhớ

1. No-arbitrage đảm bảo quyền chọn giao dịch trong phạm vi giới hạn giá của chúng
2. Volatility luôn làm tăng giá trị quyền chọn (đặc trưng riêng của quyền chọn so với các công cụ phái sinh tuyến tính)
3. Mô hình binomial định giá quyền chọn bằng phương pháp sao chép — không giả định về xác suất thực tế của các biến động giá
4. Risk-neutral pricing là một công cụ toán học thuận tiện, không phải là tuyên bố về sở thích của nhà đầu tư

---

Xem Thêm

• Contingent Claims
• Put-Call Parity
• Arbitrage and Replication
• Derivatives Formula Sheet
• Glossary — M08
• Glossary — M10 (Binomial Model)