M10: Binomial Option Pricing Model

LOS 10.a: Giải thích cách mô hình binomial có thể được dùng để định giá options. LOS 10.b: Mô tả cách giá trị của một option thay đổi khi các tham số đầu vào thay đổi.

1. Thiết lập mô hình One-Period Binomial

Giá tài sản cơ sở $S_0$ có thể di chuyển đến một trong hai giá trị trong một kỳ:

$S_1^{+}=S_0\times u\text{(up move)}$

$S_1^{-}=S_0\times d\text{(down move)}$

trong đó:

• $u$ = hệ số tăng (up factor, $u>1$)
• $d$ = hệ số giảm (down factor, $d<1$)
• Điều kiện $u>(1+r)>d$ là bắt buộc để ngăn chặn arbitrage

Giá trị Call Option tại thời điểm đáo hạn

$c_1^{+}=\max (0,S_1^{+}-X)=\max (0,S_{0}u-X)$

$c_1^{-}=\max (0,S_1^{-}-X)=\max (0,S_{0}d-X)$

Giá trị Put Option tại thời điểm đáo hạn

$p_1^{+}=\max (0,X-S_1^{+})=\max (0,X-S_{0}u)$

$p_1^{-}=\max (0,X-S_1^{-})=\max (0,X-S_{0}d)$

2. Phương pháp Hedge Ratio (Replication)

Hedge ratio $h$ xác định số lượng cổ phiếu cần thiết để tái tạo (replicate) payoff của option:

$h=\frac{c_1^{+}-c_1^{-}}{S_1^{+}-S_1^{-}}$

trong đó:

• $h$ còn được gọi là delta của option
• Với call: $0\le h\le 1$
• Với put: $-1\le h\le 0$

Replicating Portfolio

Một danh mục gồm $h$ cổ phiếu và một vị thế bán (short position) một call tạo thành một risk-free hedge:

• Trạng thái tăng: $h\times S_1^{+}-c_1^{+}$
• Trạng thái giảm: $h\times S_1^{-}-c_1^{-}$

Hai giá trị này bằng nhau (theo cấu trúc xây dựng), do đó danh mục không có rủi ro. Giá trị hiện tại của nó là:

$V_0=\frac{h\times S_1^{+}-c_1^{+}}{1+r}$

Giá call khi đó là:

$c_0=h\times S_0-V_0$

3. Phương pháp Risk-Neutral Probability

Risk-Neutral Probability

$\pi =\frac{1+r-d}{u-d}$

trong đó:

• $\pi$ = risk-neutral probability của một up move
• $(1-\pi )$ = risk-neutral probability của một down move

Risk-Neutral Pricing cho Call

$c_0=\frac{\pi c_1^{+}+(1-\pi )c_1^{-}}{1+r}$

Risk-Neutral Pricing cho Put

$p_0=\frac{\pi p_1^{+}+(1-\pi )p_1^{-}}{1+r}$

Điểm mấu chốt: Xác suất thực tế (real-world probabilities) của up move và down move ($q$ và $1-q$) không ảnh hưởng đến việc định giá option. Chỉ có risk-neutral probabilities ($\pi$ và $1-\pi$) được sử dụng. Lý do là option được định giá bằng phương pháp replication — danh mục hedge hoạt động bất kể xác suất thực tế là bao nhiêu.

4. Ví dụ số

Giả sử $S_0=100$, $u=1.20$, $d=0.80$, $r=5\%$, $X=100$:

Bước 1: Tính giá cuối kỳ và giá trị call:

• $S_1^{+}=100\times 1.20=120$, suy ra $c_1^{+}=\max (0,120-100)=20$
• $S_1^{-}=100\times 0.80=80$, suy ra $c_1^{-}=\max (0,80-100)=0$

Bước 2: Risk-neutral probability:

$\pi =\frac{1.05-0.80}{1.20-0.80}=\frac{0.25}{0.40}=0.625$

Bước 3: Giá call:

$c_0=\frac{0.625\times 20+0.375\times 0}{1.05}=\frac{12.50}{1.05}=11.90$

Kiểm chứng bằng hedge ratio:

$h=\frac{20-0}{120-80}=0.50$

$V_0=\frac{0.50\times 120-20}{1.05}=\frac{40}{1.05}=38.10$

$c_0=0.50\times 100-38.10=11.90✓$

5. Volatility và giá trị Option

Khoảng cách giữa $u$ và $d$ phản ánh volatility của tài sản cơ sở:

$\text{Volatility caˋng cao}⟺\text{khoảng caˊch }u-d\text{ caˋng rộng}⟺\text{giaˊ trị option caˋng cao}$

Trực giác: Volatility cao hơn làm tăng xác suất xảy ra những biến động lớn có lợi (mà option sẽ hưởng lợi từ đó), trong khi phần thua lỗ bị giới hạn ở mức phí premium đã trả. Sự bất đối xứng này có nghĩa là volatility cao hơn luôn có lợi cho người nắm giữ option.

Xem thêm: M08: Options Pricing and Valuation, M09: Put-Call Parity

Nguồn: SAPP Derivatives 2026