Convexity

Convexity đo lường độ cong của mối quan hệ giá-lợi suất và cung cấp hiệu chỉnh bậc hai cho ước tính thay đổi giá dựa trên duration.

Tại Sao Convexity Quan Trọng

Duration (một thước đo tuyến tính) đánh giá thấp mức tăng giá và đánh giá quá cao mức giảm giá. Convexity hiệu chỉnh điều này bằng cách nắm bắt độ cong:

$\%\Delta PV\approx (-\text{ModDur}\times \Delta \text{Yield})+\left(\frac{1}{2}\times \text{Convexity}\times \Delta {\text{Yield}}^2\right)$

• Thành phần convexity luôn dương đối với trái phiếu không có quyền chọn (positive convexity)
• Điều chỉnh convexity trở nên quan trọng hơn khi biến động lợi suất lớn hơn

Approximate Convexity

$\text{ApproxCon}=\frac{P{V}_{-}+P{V}_{+}-2\times P{V}_0}{\Delta {\text{Yield}}^2\times P{V}_0}$

trong đó:

• $P{V}_{-}$ = giá khi lợi suất giảm $\Delta \text{Yield}$
• $P{V}_{+}$ = giá khi lợi suất tăng $\Delta \text{Yield}$
• $P{V}_0$ = giá hiện tại

Money Convexity

$\text{MoneyCon}=\text{Convexity}\times P{V}^{\text{Full}}$

Điều chỉnh dollar convexity:

$\Delta PV\approx (-\text{MoneyDur}\times \Delta \text{Yield})+\left(\frac{1}{2}\times \text{MoneyCon}\times \Delta {\text{Yield}}^2\right)$

Effective Convexity

Đối với trái phiếu có embedded options, effective convexity tính đến sự thay đổi trong dòng tiền:

$\text{EffCon}=\frac{P{V}_{-}+P{V}_{+}-2\times P{V}_0}{\Delta {\text{Curve}}^2\times P{V}_0}$

Sử dụng mức dịch chuyển đường cong tham chiếu ($\Delta \text{Curve}$) thay vì thay đổi YTM.

Positive vs. Negative Convexity

Positive Convexity (Trái Phiếu Không Có Quyền Chọn)

• Đường cong giá-lợi suất có dạng lồi (cong lên trên)
• Giá tăng nhiều hơn khi lợi suất giảm so với mức giảm khi lợi suất tăng
• Nhà đầu tư được lợi từ positive convexity
• Tất cả trái phiếu không có quyền chọn đều thể hiện positive convexity

Negative Convexity (Callable Bonds)

Khi lợi suất giảm đáng kể:

• Callable bonds thể hiện negative convexity (giá bị giới hạn gần call price)
• Mức tăng giá bị hạn chế vì tổ chức phát hành có khả năng sẽ call trái phiếu
• Đường cong giá-lợi suất trở nên lõm ở mức lợi suất thấp

Mức Lợi Suất	Hành Vi của Callable Bond
Lợi suất cao (cao hơn nhiều so với coupon)	Hoạt động như trái phiếu không có quyền chọn; positive convexity
Gần ngưỡng call	Vùng chuyển tiếp
Lợi suất thấp (dưới coupon)	Negative convexity; giá bị giới hạn gần call price

Putable Bonds

• Luôn thể hiện positive convexity
• Có price floor gần put price
• Mức giảm giá bị hạn chế vì người nắm giữ có thể put trái phiếu trở lại cho tổ chức phát hành
• Effective convexity có thể cao hơn so với trái phiếu không có quyền chọn tương đương ở mức lợi suất cao

Các Yếu Tố Ảnh Hưởng Đến Convexity

Yếu Tố	Tác Động Đến Convexity
Kỳ hạn dài hơn	Convexity cao hơn
Coupon thấp hơn	Convexity cao hơn
Lợi suất thấp hơn	Convexity cao hơn
Dòng tiền phân tán	Convexity cao hơn

Convexity Như Một Đặc Tính Đáng Mong Muốn

• Nhà đầu tư ưa thích convexity cao hơn (khi các yếu tố khác bằng nhau)
• Convexity cao hơn đồng nghĩa với mức tăng giá lớn hơn khi lợi suất giảm và tổn thất nhỏ hơn khi lợi suất tăng
• Trái phiếu có convexity cao hơn thường có lợi suất thấp hơn (nhà đầu tư trả giá cho lợi ích này)

Các Khái Niệm Liên Quan

• Duration
• Bond Valuation
• Interest Rate Risk
• Fixed Income Formulas
• Glossary: Module 12