Term Structure of Interest Rates

Ba Đường Cong Cơ Bản

1. Spot Curve (Zero-Coupon Curve)

Spot rate $S_t$ là lợi suất của một trái phiếu zero-coupon đáo hạn tại thời điểm $t$.

• Đại diện cho lợi suất hàng năm của một khoản thanh toán một lần tại ngày đáo hạn
• Mỗi dòng tiền cần được chiết khấu theo spot rate tương ứng với kỳ hạn của nó
• Spot curve thể hiện spot rate tại các kỳ hạn khác nhau

Định giá trái phiếu không có cơ hội kinh doanh chênh lệch giá (no-arbitrage) bằng spot rates:

$PV=\frac{PMT}{(1+S_1{)}^1}+\frac{PMT}{(1+S_2{)}^2}+\cdots +\frac{PMT+FV}{(1+S_n{)}^n}$

2. Par Curve

Par rate là coupon rate khiến giá trái phiếu bằng đúng mệnh giá (par) tại mỗi kỳ hạn.

• Được suy ra từ spot curve
• Mỗi điểm trên par curve là coupon rate của một trái phiếu định giá ngang mệnh giá tại kỳ hạn đó
• Dùng để định giá các đợt phát hành trái phiếu mới tại mệnh giá

3. Forward Curve

Forward rate là lãi suất cho một khoảng thời gian trong tương lai, được ngụ ý bởi các spot rate hiện tại.

Ký Hiệu Forward Rate

Ký hiệu $AyBy$ (hoặc $f_{A,B}$) có nghĩa là:

Lãi suất hàng năm của một khoản vay $B$ năm bắt đầu sau $A$ năm kể từ hiện tại

Ví dụ:

• $1y1y$: lãi suất 1 năm, bắt đầu 1 năm kể từ hiện tại
• $2y3y$: lãi suất 3 năm, bắt đầu 2 năm kể từ hiện tại
• $0y1y$: spot rate 1 năm (bắt đầu ngay hiện tại) = $S_1$

Mối Quan Hệ Giữa Spot Rate và Forward Rate

Forward Rate từ Spot Rates

$(1+S_n{)}^n=(1+S_1{)}^1\times (1+f_{1,1}{)}^1\times (1+f_{2,1}{)}^1\times \cdots \times (1+f_{n-1,1}{)}^1$

Công thức tổng quát cho forward rate một kỳ:

$(1+S_n{)}^n=(1+S_{n-1}{)}^{n-1}\times (1+f_{n-1,1})$

Suy ra:

$f_{n-1,1}=\frac{(1+S_n{)}^n}{(1+S_{n-1}{)}^{n-1}}-1$

Công thức tổng quát cho forward rate nhiều kỳ:

$(1+S_{A+B}{)}^{A+B}=(1+S_A{)}^A\times (1+f_{A,B}{)}^B$

Bootstrapping

Quá trình suy ra spot rates từ par curve:

1. Par rate 1 năm = spot rate 1 năm: $S_1={\text{Par}}_1$
2. Dùng $S_1$ để giải tìm $S_2$ từ trái phiếu par kỳ hạn 2 năm
3. Dùng $S_1,S_2$ để giải tìm $S_3$ từ trái phiếu par kỳ hạn 3 năm
4. Tiếp tục lặp lại theo thứ tự

Mối Quan Hệ Giữa Các Đường Cong

Khi Spot Curve Dốc Lên (Upward Sloping):

• Forward curve nằm trên spot curve
• Par curve nằm dưới spot curve
• Thứ tự: Forward > Spot > Par

Khi Spot Curve Dốc Xuống (Inverted):

• Forward curve nằm dưới spot curve
• Par curve nằm trên spot curve
• Thứ tự: Par > Spot > Forward

Khi Spot Curve Phẳng (Flat):

• Cả ba đường cong hoàn toàn trùng nhau
• Forward = Spot = Par

Forward Rates và Lợi Suất Trái Phiếu

• Nếu forward rates được hiện thực hóa: tất cả trái phiếu đều mang lại cùng mức lợi suất (tức là spot rate kỳ 1)
• Nếu spot rates thực tế thấp hơn forward rates ngụ ý: trái phiếu dài hạn vượt trội hơn
• Nếu spot rates thực tế cao hơn forward rates ngụ ý: trái phiếu ngắn hạn vượt trội hơn

Các Lý Thuyết về Yield Curve

Lý thuyết	Ý tưởng cốt lõi
Pure Expectations	Forward rates = spot rates kỳ vọng trong tương lai
Local Expectations	Trong ngắn hạn, tất cả trái phiếu đều mang lại lợi suất bằng lãi suất phi rủi ro
Liquidity Preference	Forward rates = spot rates kỳ vọng + phần bù thanh khoản (liquidity premium)
Segmented Markets	Cung và cầu trong từng phân khúc kỳ hạn độc lập xác định lãi suất
Preferred Habitat	Tương tự Segmented Markets nhưng nhà đầu tư sẵn sàng chuyển sang phân khúc khác nếu nhận được phần bù đủ lớn

Các Khái Niệm Liên Quan

• Bond Valuation
• Yield Spreads
• Interest Rate Risk
• Fixed Income Formulas
• Glossary: Module 09