Bond Convexity and Portfolio Duration and Convexity

Convexity Adjustment

Duration một mình chỉ cho xấp xỉ tuyến tính của mối quan hệ giá-lợi suất. Convexity nắm bắt độ cong và cải thiện ước tính:

$\%\Delta PV\approx (-\text{ModDur}\times \Delta \text{Yield})+\left(\frac{1}{2}\times \text{Convexity}\times \Delta {\text{Yield}}^2\right)$

Số hạng convexity luôn dương đối với các trái phiếu không có embedded options bất kể lợi suất tăng hay giảm, nghĩa là:

• Duration ước tính cao hơn mức giảm giá khi lợi suất tăng
• Duration ước tính thấp hơn mức tăng giá khi lợi suất giảm

Convexity hiệu chỉnh cả hai sai số này.

Tính Convexity

Approximate Convexity

$\text{ApproxCon}=\frac{P{V}_{-}+P{V}_{+}-2\times P{V}_0}{\Delta {\text{Yield}}^2\times P{V}_0}$

trong đó:

• $P{V}_{-}$ = giá nếu lợi suất giảm một lượng $\Delta \text{Yield}$
• $P{V}_{+}$ = giá nếu lợi suất tăng một lượng $\Delta \text{Yield}$
• $P{V}_0$ = giá hiện tại

Money Convexity

$\text{MoneyCon}=\text{AnnConvexity}\times P{V}_{\text{full}}$

Dùng để tính thay đổi giá tuyệt đối (theo đô la) phát sinh từ tác động của convexity.

Effective Convexity

Đối với các trái phiếu có embedded options, sử dụng dịch chuyển đường cong lợi suất chuẩn thay vì YTM:

$\text{EffCon}=\frac{P{V}_{-}+P{V}_{+}-2\times P{V}_0}{\Delta {\text{Curve}}^2\times P{V}_0}$

Điều này cần thiết vì dòng tiền thay đổi khi lãi suất thay đổi (ví dụ: thực hiện quyền call/put).

Các Yếu Tố Ảnh Hưởng đến Convexity

Với cùng duration, một trái phiếu có dòng tiền phân tán hơn (ví dụ: trái phiếu coupon so với zero-coupon bond) sẽ có convexity cao hơn.

Convexity và Embedded Options

Option-Free Bonds

• Convexity luôn dương
• Đường cong giá-lợi suất là convex (cong lên trên)
• Nhà đầu tư hưởng lợi từ convexity: giá tăng nhiều hơn khi lợi suất giảm so với mức giảm khi lợi suất tăng

Callable Bonds

• Ở lợi suất cao: hoạt động giống option-free bond (convexity dương) — quyền call far out of the money
• Ở lợi suất thấp: thể hiện negative convexity — quyền call in the money, giới hạn mức tăng giá

$\text{Callable bond price}\le \text{Call price}$

Khi lợi suất giảm, giá callable bond tiếp cận call price và ngừng tăng, tạo ra vùng “nén giá” đặc trưng.

Putable Bonds

• Luôn có convexity dương (thậm chí hơn cả option-free bonds)
• Ở lợi suất cao: quyền put in the money, tạo ra sàn giá
• Quyền put bảo vệ nhà đầu tư khỏi sự sụt giảm giá, tăng cường convexity

$\text{Putable bond price}\ge \text{Put price}$

Portfolio Duration

$D_{\text{portfolio}}={\sum }_{i=1}^n{w}_i\times D_i$

trong đó:

• $w_i$ = tỷ trọng theo giá trị thị trường của trái phiếu $i$
• $D_i$ = duration của trái phiếu $i$

Portfolio Convexity

${\text{Con}}_{\text{portfolio}}={\sum }_{i=1}^n{w}_i\times {\text{Con}}_i$

Xấp Xỉ Giá Danh Mục

$\%\Delta P{V}_{\text{portfolio}}\approx (-D_{\text{portfolio}}\times \Delta \text{Yield})+\left(\frac{1}{2}\times {\text{Con}}_{\text{portfolio}}\times \Delta {\text{Yield}}^2\right)$

Hạn Chế của Portfolio Duration và Convexity

1. Giả định dịch chuyển song song — portfolio duration/convexity giả định đường cong lợi suất dịch chuyển cùng một lượng ở tất cả các kỳ hạn. Trên thực tế, các dịch chuyển thường không song song (dốc lên, dốc xuống, xoắn).

2. Xấp xỉ bình quân gia quyền — tổng hợp duration của từng trái phiếu thành một portfolio duration duy nhất là một xấp xỉ làm mất thông tin về phân phối dòng tiền.

3. Tính nhất quán của thước đo lợi suất — mỗi trái phiếu có thể có lợi suất khác nhau; “portfolio yield” là một bình quân phức tạp, không đơn giản là bình quân gia quyền của các lợi suất riêng lẻ.

4. Embedded options — nếu một số trái phiếu có embedded options, duration và convexity của chúng phụ thuộc vào lãi suất, làm phức tạp quá trình tổng hợp.

Xem Thêm

• M11 - Yield-Based Duration Measures
• M13 - Curve-Based Risk Measures