m09-term-structure

M09 – Term Structure of Interest Rates: CFAI Practice Problems

---

Question 1

The 1-year spot rate is 3.0% and the 2-year spot rate is 3.5%. The implied 1-year forward rate one year from now, $f(1,1)$, is closest to:

• A. 3.25%
• B. 3.50%
• C. 4.00%

Answer

C. 4.00%

$(1+S_2{)}^2=(1+S_1)(1+f(1,1))$ $(1.035{)}^2=(1.03)(1+f(1,1))$ $f(1,1)=\frac{(1.035{)}^2}{1.03}-1=\frac{1.071225}{1.03}-1=0.04002\approx 4.00\%$

📖 Giải thích chi tiết

Forward rate được suy ra từ spot rates dựa trên nguyên tắc no-arbitrage: đầu tư 2 năm liên tục phải cho cùng kết quả với đầu tư 1 năm rồi tái đầu tư 1 năm.

• A sai: 3.25% là trung bình cộng đơn giản, không đúng cách tính forward rate.
• B sai: 3.50% là spot rate 2 năm, không phải forward rate.
• C đúng: Forward rate phải cao hơn cả hai spot rates khi đường cong dốc lên.

---

Question 2

A par rate is best described as the coupon rate at which a bond is priced at:

• A. A discount to face value using spot rates for discounting.
• B. Face value when each cash flow is discounted at its respective spot rate.
• C. Face value when all cash flows are discounted at a single yield to maturity.

Answer

B. Face value when each cash flow is discounted at its respective spot rate.

The par rate for a given maturity is the coupon rate that makes the bond price equal to par (100) when each cash flow is discounted at the appropriate spot rate for its timing.

📖 Giải thích chi tiết

Par rate là coupon rate mà tại đó trái phiếu có giá bằng mệnh giá khi chiết khấu bằng spot rates tương ứng.

• A sai: Par rate làm giá bằng par (không phải discount).
• B đúng: Mỗi dòng tiền được chiết khấu bằng spot rate tương ứng, và giá = par.
• C sai: YTM là một lãi suất duy nhất cho tất cả dòng tiền, khác với spot rates.

---

Question 3

An analyst prices a 2-year, 4% annual coupon bond using spot rates: $S_1=3\%$ and $S_2=3.5\%$. The no-arbitrage price of this bond is closest to:

• A. $1,005.47
• B. $1,009.59
• C. $1,014.82

Answer

B. $1,009.59

$P=\frac{40}{(1.03{)}^1}+\frac{1,040}{(1.035{)}^2}=38.83+970.76=\$1,009.59$

📖 Giải thích chi tiết

Định giá no-arbitrage sử dụng spot rate riêng cho từng dòng tiền, thay vì một YTM duy nhất.

• Coupon năm 1: 40 / (1.03)^1 = \38.83$

• Coupon + Par năm 2: 1,040 / (1.035)^2 = \970.76$

• Tổng giá: 38.83 + 970.76 = **\1,009.59**$

• A sai: Tính sai do dùng sai spot rate.

• B đúng: Áp dụng đúng từng spot rate cho từng dòng tiền.

• C sai: Có thể nhầm dùng coupon rate thay spot rate để chiết khấu.

---

Question 4

An upward-sloping yield curve most likely indicates that:

• A. Short-term rates are expected to decrease in the future.
• B. Forward rates implied by the curve are higher than current short-term spot rates.
• C. The central bank is implementing an expansionary monetary policy.

Answer

B. Forward rates implied by the curve are higher than current short-term spot rates.

An upward-sloping (normal) yield curve means longer-term spot rates exceed shorter-term spot rates. Mathematically, the implied forward rates must be higher than current short-term rates to produce this upward slope.

📖 Giải thích chi tiết

Đường cong lợi suất dốc lên (normal yield curve) có đặc điểm:

• Spot rates dài hạn > spot rates ngắn hạn

• Forward rates > spot rates ngắn hạn hiện tại

• A sai: Đường cong dốc lên thường phản ánh kỳ vọng lãi suất tăng hoặc term premium, không phải giảm.

• B đúng: Về mặt toán học, đường cong dốc lên đòi hỏi forward rates cao hơn spot rates ngắn hạn.

• C sai: Chính sách tiền tệ mở rộng thường làm giảm lãi suất ngắn hạn, có thể tạo đường cong dốc lên nhưng không phải luôn luôn.

---