m11-duration-measures

M11 – Yield-Based Bond Duration Measures: CFAI Practice Problems

---

Question 1

A bond has a Macaulay duration of 7.2 years and a yield to maturity of 5% (compounded semiannually). The modified duration of this bond is closest to:

• A. 6.86
• B. 7.02
• C. 7.20

Answer

B. 7.02

$\text{ModDur}=\frac{\text{MacDur}}{1+\frac{r}{m}}=\frac{7.2}{1+\frac{0.05}{2}}=\frac{7.2}{1.025}=7.024\approx 7.02$

📖 Giải thích chi tiết

Modified duration được tính từ Macaulay duration bằng cách chia cho $(1+r/m)$, trong đó $r$ là YTM và $m$ là số kỳ trả coupon trong năm.

• A sai: 6.86 có thể tính nhầm chia cho $(1+0.05)$ thay vì $(1+0.025)$.
• B đúng: ModDur = 7.2 / 1.025 = 7.02 (dùng periodic yield 2.5%).
• C sai: 7.20 là Macaulay duration, chưa điều chỉnh.

---

Question 2

A bond has a full price of $1,025atayieldof5.00$1,060 if the yield decreases by 25 bps, and a price of $991 if the yield increases by 25 bps. The approximate modified duration of this bond is closest to:

• A. 6.73
• B. 13.46
• C. 27.32

Answer

B. 13.46

$\text{ApproxModDur}=\frac{P_{-}-P_{+}}{2\times \Delta y\times P_0}=\frac{1,060-991}{2\times 0.0025\times 1,025}=\frac{69}{5.125}=13.46$

📖 Giải thích chi tiết

Công thức approximate modified duration sử dụng hai giá trái phiếu khi yield thay đổi đều nhau lên và xuống.

• $P_{-}=1,060$ (giá khi yield giảm 25 bps)

• $P_{+}=991$ (giá khi yield tăng 25 bps)

• $P_0=1,025$ (giá ban đầu)

• $\Delta y=0.0025$ (25 bps)

• A sai: 6.73 = 13.46/2, có thể nhầm quên nhân 2 ở mẫu số.

• B đúng: ApproxModDur = 69 / 5.125 = 13.46.

• C sai: 27.32 có thể quên chia cho $P_0$ hoặc nhân sai.

---

Question 3

A bond portfolio manager wants to estimate the price change for a small yield increase. A bond with a modified duration of 8.5 and a current price of $1,040 experiences a yield increase of 30 bps. The approximate price change is closest to:

• A. −$26.52
• B. −$27.30
• C. −$35.10

Answer

A. −$26.52

$\%\Delta P\approx -\text{ModDur}\times \Delta y=-8.5\times 0.0030=-0.0255=-2.55\%$ $\Delta P=-2.55\%\times \$1,040=-\$26.52$

📖 Giải thích chi tiết

Duration ước lượng tuyến tính sự thay đổi giá khi yield thay đổi nhỏ.

• Phần trăm thay đổi giá = −ModDur × Δy = −8.5 × 0.003 = −2.55%

• Thay đổi giá tuyệt đối = −2.55% × $1,040=\ast \ast -$26.52**

• A đúng: Tính chính xác −8.5 × 0.003 × $1,040.

• B sai: Có thể nhầm cách tính hoặc dùng sai Δy.

• C sai: Có thể dùng nhầm Δy = 0.0035 hoặc tính sai.

---

Question 4

All else being equal, modified duration is highest for a bond with:

• A. A high coupon rate, long maturity, and low yield to maturity.
• B. A low coupon rate, long maturity, and low yield to maturity.
• C. A low coupon rate, short maturity, and high yield to maturity.

Answer

B. A low coupon rate, long maturity, and low yield to maturity.

Duration is higher when: (1) coupon rate is lower (more weight on the final payment), (2) maturity is longer (cash flows received later), and (3) yield is lower (distant cash flows have higher present values).

📖 Giải thích chi tiết

Ba yếu tố ảnh hưởng đến duration:

Yếu tố	Tác động lên Duration
Coupon rate ↓	Duration ↑ (nhiều trọng số hơn ở dòng tiền cuối cùng)
Maturity ↑	Duration ↑ (dòng tiền nhận muộn hơn)
YTM ↓	Duration ↑ (PV dòng tiền xa tăng tương đối)

• A sai: Coupon cao làm giảm duration.
• B đúng: Kết hợp cả ba yếu tố làm tăng duration tối đa.
• C sai: Maturity ngắn và yield cao đều làm giảm duration.

---