Portfolio Risk and Return

Risk-Return Tradeoff

Nhà đầu tư yêu cầu expected return cao hơn khi chấp nhận thêm rủi ro. Risk premium bù đắp cho sự không chắc chắn:

$E(R_p)=R_f+\text{Risk Premium}$

Phương pháp building-block phân tách expected return như sau:

$1+E(R)=(1+r_{rf})(1+E(\pi ))(1+E(RP))$

trong đó:

• $r_{rf}$ = lãi suất phi rủi ro thực (real risk-free rate)
• $E(\pi )$ = kỳ vọng phần bù lạm phát (expected inflation premium)
• $E(RP)$ = kỳ vọng phần bù rủi ro (expected risk premium)

Real vs Nominal Returns

$R_{\text{real}}=\frac{1+R_{\text{nominal}}}{1+\pi }-1$

Utility Function

Utility của nhà đầu tư risk-averse được mô hình hóa như sau:

$U=E(R)-\frac{1}{2}A{\sigma }^2$

trong đó:

• $U$ = utility (tương đương lợi suất chắc chắn — certainty-equivalent return)
• $E(R)$ = expected return
• $A$ = hệ số ngại rủi ro (risk aversion coefficient, $A>0$ với nhà đầu tư risk-averse)
• ${\sigma }^2$ = phương sai của lợi suất (variance of returns)

Loại nhà đầu tư	$A$	Ý nghĩa
Risk-averse	$A>0$	Phạt phương sai (penalizes variance)
Risk-neutral	$A=0$	Chỉ quan tâm đến $E(R)$
Risk-seeking	$A<0$	Ưa thích phương sai (rewards variance)

Indifference Curves

Indifference curve biểu diễn tất cả các tổ hợp $E(R)$-$\sigma$ mang lại cùng một mức utility $U$.

• Nhà đầu tư risk-averse: đường cong dốc lên, lồi (upward-sloping, convex)
• $A$ càng cao → đường càng dốc (cần nhiều return hơn cho mỗi đơn vị rủi ro)
• Đường càng cao (về phía tây-bắc) → utility càng cao
• Các đường không bao giờ cắt nhau với cùng một nhà đầu tư

Portfolio Variance (Two Assets)

${\sigma }_p^2=w_1^2{\sigma }_1^2+w_2^2{\sigma }_2^2+2w_1{w}_2{\rho }_{12}{\sigma }_1{\sigma }_2$

trong đó:

• $w_i$ = tỷ trọng của tài sản $i$
• ${\sigma }_i$ = độ lệch chuẩn của tài sản $i$
• ${\rho }_{12}$ = tương quan giữa tài sản 1 và 2 (correlation)

Tác động của Correlation lên rủi ro danh mục

${\rho }_{12}$	Tác động
$+1$	Không có lợi ích đa dạng hóa; ${\sigma }_p$ là bình quân gia quyền
$0<\rho <1$	Đa dạng hóa một phần
$0$	Không tương quan; đa dạng hóa tốt
$-1$	Có thể phòng ngừa hoàn toàn (perfect hedge); ${\sigma }_p$ có thể đạt về không

Covariance and Correlation

${\text{Cov}}_{12}=\frac{\sum (R_{1t}-{\bar{R}}_1)(R_{2t}-{\bar{R}}_2)}{n-1}$

${\rho }_{12}=\frac{{\text{Cov}}_{12}}{{\sigma }_1{\sigma }_2}$

trong đó $-1\le {\rho }_{12}\le +1$.

Capital Allocation Line (CAL)

CAL biểu diễn tất cả các tổ hợp giữa tài sản phi rủi ro và một danh mục rủi ro $i$:

$E(R_p)=R_f+\left[\frac{E(R_i)-R_f}{{\sigma }_i}\right]{\sigma }_p$

• Độ dốc = Sharpe ratio của danh mục rủi ro
• Giao điểm trục tung = $R_f$
• Nhà đầu tư chọn một điểm trên CAL dựa theo mức độ ngại rủi ro (risk aversion)

Minimum-Variance Frontier

Tập hợp các danh mục có phương sai thấp nhất ứng với mỗi mức expected return, được tạo thành từ tất cả các tổ hợp tài sản rủi ro có thể.

• Global minimum-variance portfolio (GMV): danh mục duy nhất có phương sai thấp nhất trong tất cả các tổ hợp tài sản rủi ro
• Frontier là một parabol trong không gian $E(R)$-${\sigma }^2$ (hoặc một hyperbol trong không gian $E(R)$-$\sigma$)

Efficient Frontier

Phần phía trên của minimum-variance frontier (từ GMV portfolio trở lên).

• Các nhà đầu tư hợp lý chỉ xem xét các danh mục nằm trên efficient frontier
• Mỗi danh mục hiệu quả tối đa hóa $E(R)$ với một mức $\sigma$ cho trước (hoặc tối thiểu hóa $\sigma$ với một mức $E(R)$ cho trước)

Optimal Portfolio Selection

Optimal risky portfolio là điểm tiếp xúc (tangency point) nơi CAL tiếp tuyến với efficient frontier — đây là danh mục có Sharpe ratio cao nhất.

Optimal complete portfolio của nhà đầu tư là nơi indifference curve đạt được cao nhất tiếp tuyến với CAL:

• Ngại rủi ro hơn → điểm nằm gần $R_f$ hơn (cho vay nhiều hơn — more lending)
• Ít ngại rủi ro hơn → điểm nằm xa hơn trên CAL (vay mượn nhiều hơn — more borrowing)

Diversification Ratio

$\text{Diversification ratio}=\frac{\sigma (\text{equally-weighted portfolio})}{\sigma (\text{randomly selected security})}$

Tỷ số càng thấp cho thấy lợi ích đa dạng hóa càng lớn.

See Also

• CAPM and SML
• PM Master Formula Sheet
• Glossary M01