Module 4: Probability Trees and Conditional Expectations

Nguồn: SAPP Quant 2026 pp. 179–211

Learning Outcomes

LOS	Mô tả
Pre.i–iii	Biến ngẫu nhiên, sự kiện, mutually exclusive/exhaustive, các loại xác suất, odds
Pre.iv	Conditional probabilities
Pre.v	Quy tắc nhân và cộng xác suất; sự kiện phụ thuộc và độc lập
Pre.vi	Total probability rule
Pre.vii	Factorial, combination, permutation
4.a	Expected values, variances, standard deviations trong các bài toán đầu tư
4.b	Probability trees và conditional expectations
4.c	Bayes’ formula

Thuật ngữ	Định nghĩa
Random variable	Đại lượng mà giá trị trong tương lai còn chưa chắc chắn
Outcome	Một giá trị có thể xảy ra của random variable
Event	Một outcome hoặc một tập hợp outcome xác định
Probability	Khả năng xảy ra của một event: $0 \leq P (E) \leq 1$

Loại	Cách xác định
Subjective	Dựa trên phán đoán cá nhân (“Tôi tin có 70% khả năng…”)
Empirical	Phân tích dữ liệu quá khứ (tần suất lịch sử)
A priori	Lập luận hình thức (ví dụ: $P = \frac{1}{6}$ cho một con xúc xắc cân bằng)

Odds for E = \frac{P ( E )}{1 - P ( E )} Odds against E = \frac{1 - P ( E )}{P ( E )}

P (A ∣ B) = \frac{P ( A B )}{P ( B )}

P (A) = i = 1 \sum N P (A ∣ B_{i}) \cdot P (B_{i})

trong đó $B_{1}, B_{2}, \dots, B_{N}$ là mutually exclusive và exhaustive

Expected Value:

E (X) = i = 1 \sum n P (X_{i}) \cdot X_{i}

Variance:

σ^{2} (X) = i = 1 \sum n P (X_{i}) \cdot [X_{i} - E (X)]^{2}

Standard Deviation:

σ (X) = σ^{2} (X)

P (B ∣ A) = \frac{P ( A ∣ B ) \cdot P ( B )}{P ( A )}

Dùng để cập nhật xác suất khi có thông tin mới. Mẫu số được tính bằng total probability rule.

Phương pháp	Công thức	Thứ tự có quan trọng?	Trường hợp sử dụng
Factorial	$n!$	Có	Tổng số cách sắp xếp $n$ phần tử
Permutation	$P (n, r) = \frac{n !}{( n - r )!}$	Có	Chọn $r$ từ $n$ phần tử có quan tâm thứ tự
Combination	$C (n, r) = \frac{n !}{r ! ( n - r )!}$	Không	Chọn $r$ từ $n$ phần tử, không quan tâm thứ tự