m02-time-value-of-money

M02 – Time Value of Money: CFAI Practice Problems

Source: CFAI CFA1 Quant Practice 2026, pp.81–86 Back to module: m02-time-value-of-money Glossary: M02 Terms

---

Question 1

Grupo Ignacia issued 10-year corporate bonds 2 years ago with a coupon rate of 10.7% paid semiannually. Current yield-to-maturity is 11.6%. The current price per MXN 100 par value is closest to:

• A. MXN 95.47
• B. MXN 97.18
• C. MXN 95.39

Answer

C. MXN 95.39

The bond was issued 10 years ago but is now 2 years old, so it has 8 years remaining (16 semiannual periods).

Calculator inputs:

• $N=16$ (periods)
• $I/Y=5.8\%$ (= 11.6% / 2)
• $PMT=5.35$ (= 10.7 / 2)
• $FV=100$

$PV=\frac{5.35}{{\left(1.058\right)}^1}+\frac{5.35}{{\left(1.058\right)}^2}+\cdots +\frac{105.35}{{\left(1.058\right)}^{16}}=\text{MXN }95.39$

The bond trades at a discount because the coupon rate (10.7%) is below the current YTM (11.6%).

📖 Giải thích chi tiết

Ôn lại khái niệm: Giá trái phiếu = PV của tất cả coupon payments + PV của face value, chiết khấu theo YTM. Khi YTM > coupon rate → bond discount (giá < par). Khi YTM < coupon rate → bond premium (giá > par).

Tại sao C đúng: Trái phiếu phát hành 10 năm, nay 2 tuổi → còn 8 năm = 16 kỳ semiannual. PMT = 10.7/2 = 5.35; I/Y = 11.6/2 = 5.8%; FV = 100. Giá ≈ 95.39 < 100 (discount) vì YTM 11.6% > coupon 10.7% — thị trường đang yêu cầu lợi suất cao hơn mức coupon trả.

Tại sao A sai (95.47): Có thể do dùng sai số kỳ — ví dụ tính 10 năm thay vì 8 năm còn lại. Tại sao B sai (97.18): Có thể do dùng YTM hàng năm thay vì chia đôi cho semiannual, hoặc số kỳ sai.

---

Question 2

Grey Pebble Real Estate takes a 5-year mortgage on 75% of a NZD 5,000,000 property at an annual interest rate of 4.8%, with monthly payments.

The monthly payment is closest to:

• A. NZD 70,424
• B. NZD 93,899
• C. NZD 71,781

Answer

A. NZD 70,424

• Loan amount: $PV=0.75\times 5,000,000=\text{NZD }3,750,000$
• Monthly rate: $r=4.8\%/12=0.4\%$
• Number of periods: $n=5\times 12=60$

$PMT=\frac{PV\cdot r}{1-(1+r{)}^{-n}}=\frac{3,750,000\times 0.004}{1-(1.004{)}^{-60}}$

$PMT=\frac{15,000}{1-0.78715}=\frac{15,000}{0.21285}\approx \text{NZD }70,424$

📖 Giải thích chi tiết

Ôn lại khái niệm: Công thức mortgage payment: $PMT=\frac{PV\cdot r}{1-(1+r{)}^{-n}}$. Đây là annuity payment — mỗi kỳ trả một khoản cố định bao gồm cả gốc lẫn lãi. Lưu ý phải convert lãi suất năm sang lãi suất tháng và số năm sang số tháng.

Tại sao A đúng: Khoản vay = 75% × 5,000,000 = NZD 3,750,000. Lãi tháng = 4.8%/12 = 0.4%. Số kỳ = 60. Tử số = 3,750,000 × 0.004 = 15,000. Mẫu số = 1 − (1.004)⁻⁶⁰ ≈ 0.2128. PMT ≈ 70,424.

Tại sao B sai (93,899): Có thể do dùng lãi suất năm 4.8% thay vì tháng 0.4%, hoặc n = 5 thay vì 60. Tại sao C sai (71,781): Gần đúng nhưng có thể phát sinh từ sai số làm tròn hoặc dùng lãi suất tháng sai (ví dụ 4.8%/12 tính không chính xác).

---

Question 3

Mylandia Corp just paid a dividend of CAD 2.40. Dividends are expected to grow at a constant 3% per year. The required rate of return is 8%.

The current share price is closest to:

• A. CAD 48.00
• B. CAD 49.44
• C. CAD 51.84

Answer

B. CAD 49.44

Using the Gordon Growth Model (constant dividend discount model): $P_0=\frac{D_1}{r-g}=\frac{D_0\times (1+g)}{r-g}$

$P_0=\frac{2.40\times 1.03}{0.08-0.03}=\frac{2.472}{0.05}=\text{CAD }49.44$

Note: $D_0=\text{CAD }2.40$ is the just-paid dividend, so the next dividend $D_1=2.40\times 1.03=2.472$.

📖 Giải thích chi tiết

Ôn lại khái niệm: Gordon Growth Model (GGM): $P_0=\frac{D_1}{r-g}$, trong đó $D_1$ là dividend kỳ tới (chưa trả). Bẫy phổ biến: dùng $D_0$ (vừa trả) thay vì $D_1$ → understate giá trị. Mô hình này là growing perpetuity — chuỗi dòng tiền tăng trưởng mãi mãi.

Tại sao B đúng: $D_0=2.40$ đã được trả. $D_1=2.40\times 1.03=2.472$. $P_0=2.472/(0.08-0.03)=2.472/0.05=49.44$.

Tại sao A sai (48.00): Dùng $D_0$ thay vì $D_1$: $2.40/0.05=48.00$ — bẫy cổ điển của GGM. Nhà đầu tư mua hôm nay sẽ nhận $D_1$, không phải $D_0$ đã trả rồi. Tại sao C sai (51.84): Có thể nhầm tăng trưởng 2 kỳ: $2.40\times 1.03^2/0.05=51.84$ — áp dụng growth factor hai lần.

---

Question 4

Mylandia Corp revises its dividend forecast: dividends will grow at 10% for 3 years, then revert to a perpetual growth rate of 3%. The required return remains 8%.

The current share price is closest to:

• A. CAD 49.98
• B. CAD 55.84
• C. CAD 59.71

Answer

C. CAD 59.71

Stage 1 – Dividends during high-growth period (using $D_0=\text{CAD }2.40$):

Year	Dividend
$D_1$	$2.40\times 1.10=2.6400$
$D_2$	$2.64\times 1.10=2.9040$
$D_3$	$2.904\times 1.10=3.1944$

Stage 2 – Terminal value at end of Year 3: $D_4=3.1944\times 1.03=3.2902$ $P_3=\frac{D_4}{r-g}=\frac{3.2902}{0.08-0.03}=\frac{3.2902}{0.05}=65.804$

Present value of all cash flows: $P_0=\frac{2.64}{1.08}+\frac{2.904}{1.08^2}+\frac{3.1944+65.804}{1.08^3}$

$P_0=2.444+2.490+\frac{68.998}{1.2597}=2.444+2.490+54.773\approx \text{CAD }59.71$

📖 Giải thích chi tiết

Ôn lại khái niệm: Multi-stage dividend discount model: chia làm 2 giai đoạn — high growth rồi stable growth. Terminal value tại cuối giai đoạn 1 = $P_3=D_4/(r-g_{stable})$. Sau đó discount tất cả cash flows về hiện tại.

Tại sao C đúng: Logic gồm 3 phần: (1) PV của $D_1,D_2,D_3$ trong giai đoạn tăng trưởng cao 10%; (2) Terminal value $P_3=D_4/(r-g)=3.2902/0.05=65.80$ tại năm 3; (3) PV tổng = 2.44 + 2.49 + (3.19 + 65.80)/1.08³ ≈ 59.71. Phần lớn giá trị (54.77/59.71 = 92%) đến từ terminal value — điển hình cho growth stocks.

Tại sao A sai (49.98): Gần với giá tính theo constant growth (câu 3 = 49.44) — có thể không áp dụng high-growth phase hoặc dùng sai $g$. Tại sao B sai (55.84): Có thể sai ở bước tính $D_4$ hoặc discount sai số kỳ cho terminal value.

---

Question 5

A Swiss zero-coupon bond has a face value of CHF 100, matures in 12 years, and currently trades at CHF 89. In 3 years, the same bond is expected to trade at CHF 95.25.

The annualized return over the 3-year holding period is closest to:

• A. 0.58%
• B. 1.64%
• C. 2.29%

Answer

C. 2.29%

The annualized holding-period return over 3 years:

$r={\left(\frac{P_3}{P_0}\right)}^{1/3}-1={\left(\frac{95.25}{89}\right)}^{1/3}-1$

$r=(1.07022{)}^{0.3333}-1=1.02292-1\approx 2.29\%$

📖 Giải thích chi tiết

Ôn lại khái niệm: Annualized return từ holding period bất kỳ: $r=(P_t/P_0{)}^{1/t}-1$, trong đó $t$ là số năm. Đây là bài tính return của zero-coupon bond — không có coupon nên toàn bộ return đến từ price appreciation.

Tại sao C đúng: Mua tại 89, kỳ vọng bán tại 95.25 sau 3 năm. $r=(95.25/89{)}^{1/3}-1=1.0702^{0.333}-1\approx 2.29\%$ mỗi năm. Đây là annualized HPR trong 3 năm, không phải YTM đến maturity.

Tại sao A sai (0.58%): Có thể là simple return chia đều: $(95.25-89)/89/3\approx 2.34\%$ không phải 0.58%, hoặc phát sinh từ lỗi tính toán khác. Tại sao B sai (1.64%): Có thể do nhầm holding period (ví dụ dùng 4 năm thay vì 3 năm) hoặc tính $r=(P_t/P_0{)}^{1/t}$ sai exponent.

---

Question 6

The Grupo Ignacia bonds from Q1 are now 4 years old (6 years remaining). The current market price is MXN 97.50 per MXN 100 par. The coupon remains 10.7% paid semiannually.

The yield-to-maturity is closest to:

• A. 11.28%
• B. 11.50%
• C. 11.71%

Answer

A. 11.28%

Calculator inputs (solving for $I/Y$):

• $N=12$ (6 years × 2)
• $PV=-97.50$
• $PMT=5.35$ (= 10.7 / 2)
• $FV=100$

Solving: Semiannual rate $\approx 5.64\%$

Annual YTM $=5.64\%\times 2=11.28\%$

The bond trades at a slight discount (97.50 < 100), so the YTM must be marginally above the coupon rate of 10.7%, confirming ~11.28%.

📖 Giải thích chi tiết

Ôn lại khái niệm: YTM là lãi suất chiết khấu làm cho PV của tất cả cash flows bằng giá thị trường. Khi giải YTM, cần input: N (kỳ số), PV (giá âm), PMT (coupon), FV (mệnh giá) → tìm I/Y. Với semiannual bond, YTM = 2 × semiannual rate.

Tại sao A đúng: N = 12 (6 năm × 2), PV = −97.50, PMT = 5.35, FV = 100. Giải ra semiannual rate ≈ 5.64% → YTM = 11.28%. Kiểm tra logic: giá 97.50 < 100 (discount) nên YTM > coupon rate 10.7% ✓.

Tại sao B sai (11.50%): YTM này tương ứng với giá thấp hơn 97.50 — nếu YTM cao hơn thì giá phải thấp hơn, không phải 97.50. Tại sao C sai (11.71%): Tương tự B — YTM càng cao thì giá càng thấp; 11.71% sẽ cho giá dưới 97.50.

---

Question 7

Mylandia stock currently trades at CAD 60.00. The company just paid a dividend of CAD 2.40, and dividends are expected to grow perpetually at 3%.

The required rate of return is closest to:

• A. 8.00%
• B. 7.00%
• C. 7.12%

Answer

C. 7.12%

Rearranging the Gordon Growth Model to solve for $r$:

$P_0=\frac{D_1}{r-g}⟹r=\frac{D_1}{P_0}+g$

$D_1=D_0\times (1+g)=2.40\times 1.03=2.472$

$r=\frac{2.472}{60.00}+0.03=0.0412+0.03=0.0712=7.12\%$

📖 Giải thích chi tiết

Ôn lại khái niệm: GGM giải ngược để tìm implied required return: $r=D_1/P_0+g$. Thành phần $D_1/P_0$ là dividend yield kỳ vọng, cộng với $g$ (tốc độ tăng trưởng kỳ vọng) = total return. Đây là cách thị trường “định giá” required return qua mức giá hiện tại.

Tại sao C đúng: $D_1=2.40\times 1.03=2.472$. Dividend yield = 2.472/60 = 4.12%. Required return = 4.12% + 3% = 7.12%. Lưu ý: dùng $D_1$ không phải $D_0$ — nhà đầu tư mua hôm nay nhận dividend kỳ sau.

Tại sao A sai (8.00%): 8% là required return từ câu 3 — nhưng bây giờ giá cổ phiếu đã tăng từ 49.44 lên 60.00, nên required return implied thấp xuống còn 7.12%. Tại sao B sai (7.00%): Gần đúng nhưng có thể do dùng $D_0$ thay vì $D_1$: $2.40/60+3\%=7.00\%$ — bẫy cổ điển tương tự câu 3.

---

Question 8

The NIFTY 50 index has a forward price-to-earnings (P/E) ratio of 15. Expected payout ratio is 50%, required return is 7.5%, and expected dividend growth is 4.5%.

An analyst should view the NIFTY 50 as:

• A. Overpriced
• B. Underpriced
• C. Fairly priced

Answer

B. Underpriced

The fair (justified) forward P/E based on fundamentals:

$\text{Justified P/E}=\frac{\text{Payout ratio}}{r-g}=\frac{0.50}{0.075-0.045}=\frac{0.50}{0.03}=16.67$

The current forward P/E of 15 < 16.67 (fair value), meaning the market is pricing the index below its intrinsic value. Therefore, the NIFTY 50 is underpriced.

📖 Giải thích chi tiết

Ôn lại khái niệm: Justified (fair value) forward P/E = Payout ratio / (r − g). Đây là ứng dụng trực tiếp của GGM: $P_0/E_1=(D_1/E_1)/(r-g)$ = payout ratio / (r − g). So sánh P/E thị trường với P/E justified để xác định over/underpriced.

Tại sao B đúng: Justified P/E = 0.50 / (0.075 − 0.045) = 0.50 / 0.03 = 16.67. Thị trường đang trade tại P/E = 15 < 16.67 → thị trường rẻ hơn giá trị nội tại → underpriced. Nếu mua ở P/E 15 khi fair value là 16.67, kỳ vọng capital gain khi thị trường về fair value.

Tại sao A sai: Overpriced nghĩa là P/E thị trường > justified P/E. Ngược lại với tình huống này. Tại sao C sai: Fairly priced nghĩa là P/E thị trường = justified P/E = 16.67. Nhưng 15 ≠ 16.67.

---

Question 9

An investor requires an 8% return and has USD 500,000 to invest. Two opportunities are available:

Period	Opportunity 1 Cash Flows	Opportunity 2 Cash Flows
0	−500,000	−500,000
1	195,000	225,000
2	195,000	195,000
3	195,000	160,008

The investor should:

• A. Prefer Opportunity 1
• B. Prefer Opportunity 2
• C. Be indifferent between the two

Answer

C. Be indifferent between the two

Using the cash flow additivity principle, consider the difference between Opportunity 2 and Opportunity 1:

Period	Difference (Opp 2 − Opp 1)
0	0
1	+30,000
2	0
3	−34,992

PV of difference at 8%: $\frac{30,000}{1.08}+0+\frac{-34,992}{1.08^3}=27,778-27,778=0$

The PV of the difference stream is exactly zero at 8%, confirming both opportunities are economically identical — the investor is indifferent.

📖 Giải thích chi tiết

Ôn lại khái niệm: Cash flow additivity principle: nếu PV(A) = PV(B) tại cùng discount rate, thì A và B có giá trị kinh tế như nhau. Có thể kiểm tra bằng cách tính PV của difference stream (A − B).

Tại sao C đúng: Opportunity 2 trả thêm $30,000ởn\breve{a}m1nhưngtrả\acute{ı}thơn$34,992 ở năm 3. PV của +$30,000n\breve{a}m1=30,000/1.08=27,778.PVcủa-$34,992 năm 3 = −34,992/1.08³ = −27,778. Tổng PV difference = 0 → hai cơ hội đồng giá trị tại discount rate 8%. Nhà đầu tư hoàn toàn indifferent.

Tại sao A sai: Nếu chỉ nhìn tổng cash flow: Opp 1 = $585,000vsOpp2=$580,008 → Opp 1 nhiều hơn về nominal. Nhưng timing khác nhau và khi discount về PV thì bằng nhau — đây chính là ý nghĩa của time value of money. Tại sao B sai: Opp 2 nhận nhiều tiền hơn sớm (năm 1) nhưng ít hơn ở năm 3 — sau khi tính time value thì cân bằng hoàn toàn.

---

Question 10

Italian government spot rates: 1-year = 0.73%, 2-year = 1.29%. The breakeven 1-year forward rate one year from now is closest to:

• A. 1.01%
• B. 1.11%
• C. 1.85%

Answer

C. 1.85%

Using the no-arbitrage forward rate relationship: $(1+r_2{)}^2=(1+r_1)(1+f_{1,1})$

$f_{1,1}=\frac{(1.0129{)}^2}{(1.0073)}-1=\frac{1.02593}{1.0073}-1=1.01850-1\approx 1.85\%$

📖 Giải thích chi tiết

Ôn lại khái niệm: Implied forward rate $f_{1,1}$ là lãi suất kỳ vọng cho năm thứ 2, suy ra từ no-arbitrage: đầu tư 2 năm trực tiếp phải bằng đầu tư 1 năm rồi tái đầu tư năm tiếp theo. Công thức: $(1+r_2{)}^2=(1+r_1)(1+f_{1,1})$.

Tại sao C đúng: $(1.0129{)}^2=1.02593$ và $(1.0073)$ → $f_{1,1}=1.02593/1.0073-1=1.85\%$. Logic: 2-year spot = 1.29% > 1-year spot = 0.73%, vì vậy năm thứ 2 phải có lãi suất cao hơn để bù đắp — kết quả 1.85% hợp lý (cao hơn cả hai spot rates).

Tại sao A sai (1.01%): Gần với trung bình cộng $(0.73\%+1.29\%)/2=1.01\%$ — cách tính sai, không dùng no-arbitrage. Tại sao B sai (1.11%): Có thể từ cách tính đơn giản hóa sai: $(1.29\%\times 2)-0.73\%=1.85\%$ là đúng; 1.11% phát sinh từ sai sót khác.

---

Question 11

The current USD/EUR spot exchange rate is 1.025. The EUR risk-free rate is 0.75% and the USD risk-free rate is 3.25%. The 1-year forward USD/EUR exchange rate is closest to:

• A. USD/EUR 1.051
• B. USD/EUR 1.025
• C. USD/EUR 0.975

Answer

A. USD/EUR 1.051

Using covered interest rate parity:

$F=S_0\times \frac{1+r_{USD}}{1+r_{EUR}}=1.025\times \frac{1.0325}{1.0075}$

$F=1.025\times 1.02481=1.0254\times 1.02481\approx 1.051$

The USD has a higher interest rate, so USD is at a forward premium relative to EUR, and the forward price of EUR in USD terms is higher than spot.

📖 Giải thích chi tiết

Ôn lại khái niệm: Covered interest rate parity: $F=S_0\times \frac{1+r_{pricecurrency}}{1+r_{basecurrency}}$. Trong đó USD/EUR nghĩa là “bao nhiêu USD để mua 1 EUR” (USD là price currency, EUR là base). Đồng nào lãi suất cao hơn sẽ có forward discount (mất giá về phía trước).

Tại sao A đúng: $F=1.025\times (1.0325/1.0075)=1.025\times 1.02481\approx 1.051$. USD có lãi suất cao hơn (3.25% > 0.75%), nên 1 EUR mua được nhiều USD hơn trong tương lai → EUR forward premium. Điều này ngăn arbitrage: lợi thế lãi suất USD bị triệt tiêu bởi USD depreciation so với EUR.

Tại sao B sai (1.025): Forward = spot chỉ khi hai lãi suất bằng nhau. Ở đây có chênh lệch lớn (2.5%), nên forward phải khác spot. Tại sao C sai (0.975): F < S nghĩa là EUR mất giá trong tương lai — điều này xảy ra khi lãi suất EUR > lãi suất USD. Nhưng thực tế ngược lại (EUR 0.75% < USD 3.25%).

---

Question 12

A stock currently trades at USD 25. In one year, the price will either rise to USD 35 or fall to USD 15. An investor constructs a portfolio by selling one call option at a strike of USD 25 and buying 0.5 shares of stock.

The portfolio value at year-end is:

• A. USD 7.50 in both up and down scenarios
• B. USD 25 in both scenarios
• C. USD 17.50 if the stock goes up, USD 7.50 if the stock goes down

Answer

A. USD 7.50 in both scenarios

This is the replicating (hedge) portfolio used in binomial option pricing.

If stock rises to USD 35:

• Value of 0.5 shares: $0.5\times 35=17.50$
• Call option expires in the money; payoff to short call: $-(35-25)=-10.00$
• Portfolio value: $17.50-10.00=7.50$

If stock falls to USD 15:

• Value of 0.5 shares: $0.5\times 15=7.50$
• Call option expires worthless; payoff to short call: $0$
• Portfolio value: $7.50-0=7.50$

The portfolio is risk-free (perfectly hedged), delivering USD 7.50 in both states. This delta-hedged position is the foundation of no-arbitrage option pricing.

📖 Giải thích chi tiết

Ôn lại khái niệm: Replicating portfolio trong binomial option pricing: tìm số cổ phiếu (delta, $\Delta$) để portfolio “short call + long $\Delta$ shares” có cùng giá trị ở cả up và down state. Delta = (C_up − C_down)/(S_up − S_down) = (10 − 0)/(35 − 15) = 0.5. Khi portfolio rủi ro bằng 0, nó phải kiếm risk-free rate.

Tại sao A đúng: Up state: 0.5 × 35 − 10 = 7.50. Down state: 0.5 × 15 − 0 = 7.50. Portfolio hoàn toàn hedged — bất kể cổ phiếu tăng hay giảm, giá trị cuối đều là $\mathrm{7.50.}Đ\hat{a}ych\acute{ı}nhl\grave{a}no-arbitrage:n\acute{\hat{e}}uportfoliorủirob\grave{\stackrel{˘}{a}}ng0,phảic\acute{o}gi\acute{a}trịx\acute{a}cđịnhngayh\hat{o}mnay=$7.50 / (1 + r_f).

Tại sao B sai (25 cả hai): $25 là giá cổ phiếu hiện tại, không phải giá trị portfolio sau 1 năm. Tại sao C sai (17.50 up, 7.50 down): 17.50 là giá trị 0.5 cổ phiếu trong up state trước khi trừ nghĩa vụ short call (−10). Cần tính net portfolio value bao gồm cả vị thế call.