m03-statistical-measures

M03 – Statistical Measures: CFAI Practice Problems

Source: CFAI CFA1 Quant Practice 2026, pp.126–130 Back to module: m03-statistical-measures Glossary: M03 Terms

---

Questions 1–5: Exhibit — Market Capitalization Frequency Distribution

The following exhibit shows market capitalizations (EUR billions) for 100 firms organized into 20 equal bins of 5 observations each, spanning from EUR 0.28 billion to EUR 96.85 billion.

Bin	Observations	Market Cap Range (EUR bn)
1	5	0.28 – 5.42
2	5	5.43 – 10.57
3	5	10.58 – 15.72
4	5	15.73 – 20.87
5	5	20.88 – 26.02
6	5	26.03 – 31.17
7	5	31.18 – 36.32
8	5	36.33 – 41.47
9	5	41.48 – 46.62
10	5	46.63 – 51.77
11	5	51.78 – 56.92
12	5	56.93 – 62.07
13	5	62.08 – 67.22
14	5	67.23 – 72.37
15	5	72.38 – 77.52
16	5	77.53 – 82.67
17	5	82.68 – 87.82
18	5	87.83 – 92.97
19	5	92.98 – 94.91
20	5	94.92 – 96.85

---

Question 1

The 10th percentile corresponds to observations in bin(s):

• A. 2
• B. 1 and 2
• C. 19 and 20

Answer

B. Bins 1 and 2

The 10th percentile represents the bottom 10% of the 100 observations: $10\%\times 100=10\text{ observations}$

Since each bin contains 5 observations:

• Bin 1 contains observations 1–5 (bottom 5%)
• Bin 2 contains observations 6–10 (bottom 6%–10%)

Together, bins 1 and 2 encompass the bottom 10 observations, corresponding to the 10th percentile.

📖 Giải thích chi tiết

Ôn lại khái niệm: Percentile thứ $y$ = giá trị mà $y\%$ dữ liệu nằm dưới đó. Với $n=100$ quan sát, percentile thứ 10 bao gồm 10% × 100 = 10 quan sát thấp nhất. Mỗi bin có 5 quan sát.

Tại sao B đúng: 10 quan sát thấp nhất = bin 1 (quan sát 1–5) + bin 2 (quan sát 6–10). Cả hai bin cùng thuộc percentile thứ 10.

Tại sao A sai: Chỉ bin 2 = chỉ quan sát 6–10 = percentile 6–10, không bao gồm toàn bộ 10th percentile. Tại sao C sai: Bins 19 và 20 là top 10 quan sát = 90th–100th percentile, không phải 10th percentile.

---

Question 2

The 2nd quintile corresponds to observations in bin(s):

• A. 8
• B. 5, 6, 7, and 8
• C. 6, 7, 8, 9, and 10

Answer

B. Bins 5, 6, 7, and 8

Quintiles divide the data into 5 equal portions of 20% each (20 observations per quintile):

Quintile	Observations	Bins
1st	1–20	1–4
2nd	21–40	5–8
3rd	41–60	9–12
4th	61–80	13–16
5th	81–100	17–20

The 2nd quintile spans observations 21–40, which falls in bins 5 through 8.

📖 Giải thích chi tiết

Ôn lại khái niệm: Quintile chia dữ liệu thành 5 phần bằng nhau (20% mỗi phần). Với n = 100: mỗi quintile = 20 quan sát = 4 bins. Cần phân biệt với quartile (4 phần) và decile (10 phần).

Tại sao B đúng: Quintile 1 = obs 1–20 = bins 1–4. Quintile 2 = obs 21–40 = bins 5–8 (bin 5: obs 21–25, bin 6: obs 26–30, bin 7: obs 31–35, bin 8: obs 36–40). Đây là 4 bins liên tiếp.

Tại sao A sai: Chỉ bin 8 (obs 36–40) là phần cuối của quintile 2, không phải toàn bộ quintile. Tại sao C sai: Bins 6–10 = obs 26–50 = nửa cuối quintile 2 + nửa đầu quintile 3, bao gồm sai cả quintile 3.

---

Question 3

The 4th quartile corresponds to observations in bin(s):

• A. 17
• B. 17, 18, 19, and 20
• C. 16, 17, 18, 19, and 20

Answer

C. Bins 16, 17, 18, 19, and 20

Quartiles divide the data into 4 equal portions of 25% each (25 observations per quartile):

Quartile	Observations	Bins
1st	1–25	1–5
2nd	26–50	6–10
3rd	51–75	11–15
4th	76–100	16–20

The 4th quartile (top 25%) encompasses observations 76–100, spanning bins 16 through 20.

📖 Giải thích chi tiết

Ôn lại khái niệm: Quartile chia dữ liệu thành 4 phần bằng nhau (25% mỗi phần). Với n = 100: mỗi quartile = 25 quan sát = 5 bins. Q1 = bottom 25%, Q4 = top 25%.

Tại sao C đúng: Q4 = obs 76–100 = bins 16–20 (5 bins × 5 obs = 25 obs). Đây là top 25% của toàn bộ phân phối market cap.

Tại sao A sai: Chỉ bin 17 là 1 bin = 5 quan sát = chỉ 5% dữ liệu, không phải 25%. Tại sao B sai: Bins 17–20 = 4 bins = 20 quan sát = top 20%, bỏ sót bin 16 (obs 76–80).

---

Question 4

The median of the distribution is closest to:

• A. 44.86
• B. 46.88
• C. 49.40

Answer

B. 46.88

The median is the midpoint of an ordered dataset. For $n=100$ observations, the median falls between the 50th and 51st observations.

• Observations 1–50 fall in bins 1–10 (the 50th observation is the last in bin 10)
• Observations 51–100 fall in bins 11–20 (the 51st observation is the first in bin 11)

The boundary between bin 10 (ending at ~46.62) and bin 11 (beginning at ~46.88, which represents the midpoint or characteristic value of that boundary) gives a median of approximately 46.88.

📖 Giải thích chi tiết

Ôn lại khái niệm: Median = giá trị chính giữa của tập dữ liệu đã sắp xếp. Với n chẵn (n = 100), median = trung bình của quan sát thứ 50 và 51. Trong grouped data, cần nội suy từ bins.

Tại sao B đúng (46.88): Quan sát 50 nằm ở cuối bin 10 (range 46.63–51.77), quan sát 51 ở đầu bin 11 (range 51.78–56.92). Điểm ranh giới giữa 2 bins ≈ 46.88. Đây là giá trị trung vị của phân phối market cap — một nửa công ty có market cap dưới, một nửa trên mức này.

Tại sao A sai (44.86): Giá trị này nằm trong bin 9 (41.48–46.62) — nếu dùng sai công thức nội suy hoặc tính median của obs 49–50 thay vì 50–51. Tại sao C sai (49.40): Giá trị này nằm trong bin 10, gần giữa bin — có thể do nhầm lấy midpoint của bin 10 thay vì boundary giữa bin 10 và 11.

---

Question 5

The interquartile range (IQR) is closest to:

• A. 20.76
• B. 23.62
• C. 25.52

Answer

B. 23.62

The IQR = Q3 − Q1, where:

• Q1 = 25th percentile = midpoint/upper boundary of bin 5 ≈ 34.72
• Q3 = 75th percentile = midpoint/upper boundary of bin 15 ≈ 58.34

$IQR=Q3-Q1=58.34-34.72=23.62$

📖 Giải thích chi tiết

Ôn lại khái niệm: Interquartile Range (IQR) = Q3 − Q1 = khoảng cách giữa percentile 75 và 25. IQR đo độ phân tán của 50% giữa của dữ liệu, không bị ảnh hưởng bởi outliers (không như standard deviation). Đặc biệt hữu ích cho phân phối lệch (skewed).

Tại sao B đúng (23.62): Q1 (25th percentile) = ranh giới trên của bin 5 ≈ 34.72. Q3 (75th percentile) = ranh giới trên của bin 15 ≈ 58.34. IQR = 58.34 − 34.72 = 23.62. Điều này nghĩa là 50% công ty ở giữa có market cap trong khoảng EUR 23.62 tỷ.

Tại sao A sai (20.76): Có thể dùng sai Q1 hoặc Q3 — ví dụ lấy Q1 = lower bound bin 6 thay vì upper bound bin 5. Tại sao C sai (25.52): Có thể do lấy midpoint bins thay vì boundaries, hoặc nhầm Q1/Q3 sang một bin khác.

---

Question 6: MSCI World Index Returns

The following exhibit shows 11 years of MSCI World Index annual returns, ranked in ascending order:

Rank	Annual Return
1	−40.33%
2	−5.02%
3	9.54%
4	10.02%
5	11.76%
6	15.25%
7	18.34%
8	20.65%
9	27.37%
10	30.79%
11	41.45%

The 4th quintile return (80th percentile) is closest to:

• A. 20.65%
• B. 26.03%
• C. 27.37%

Answer

B. 26.03%

For a dataset of $n=11$ observations, the location of the $y$th percentile is: $L_y=(n+1)\times \frac{y}{100}=12\times \frac{80}{100}=9.6$

This falls between the 9th observation (27.37%) and the 10th observation (30.79%) — wait, let me use the standard method:

$L_{80}=(n+1)\times \frac{80}{100}=12\times 0.80=9.6$

However, using the alternative formula $L_y=(n)\times \frac{y}{100}$: $L_{80}=11\times 0.80=8.8$

This falls between the 8th observation (20.65%) and the 9th observation (27.37%).

Linear interpolation: $P_{80}=20.65\%+0.8\times (27.37\%-20.65\%)=20.65\%+0.8\times 6.72\%=20.65\%+5.38\%\approx 26.03\%$

📖 Giải thích chi tiết

Ôn lại khái niệm: Công thức vị trí percentile theo CFAI: $L_y=n\times (y/100)$. Nếu $L_y$ không nguyên, nội suy tuyến tính giữa hai quan sát kề nhau: $P_y=X_{floor(L)}+(L-floor(L))\times (X_{ceil(L)}-X_{floor(L)})$.

Tại sao B đúng (26.03%): $L_{80}=11\times 0.80=8.8$ → nằm giữa quan sát thứ 8 (20.65%) và thứ 9 (27.37%). Nội suy: $20.65\%+0.8\times (27.37\%-20.65\%)=26.03\%$. Đây là 4th quintile (80th percentile) return — năm tốt nhất trong top 20%.

Tại sao A sai (20.65%): Đây là quan sát thứ 8 chính xác — tương ứng với $L=8.0$ (70th percentile: $11\times 0.70=7.7$, nội suy). Không phải 80th percentile. Tại sao C sai (27.37%): Đây là quan sát thứ 9 — tương ứng với $L=9.0$ (≈ 81.8th percentile). Dùng quan sát nguyên gần nhất thay vì nội suy là sai methodology.

---

Question 7

A fund reports the following annual returns over 10 years:

Year	Return
1	4.5%
2	6.0%
3	1.5%
4	−2.0%
5	0.0%
6	4.5%
7	3.5%
8	2.5%
9	5.5%
10	4.0%

The sample standard deviation is closest to:

• A. 2.40%
• B. 2.53%
• C. 7.58%

Answer

B. 2.53%

Step 1 – Sample mean: $\bar{R}=\frac{4.5+6.0+1.5+(-2.0)+0.0+4.5+3.5+2.5+5.5+4.0}{10}=\frac{30.0}{10}=3.0\%$

Step 2 – Squared deviations from mean:

Year	Return	Deviation	Deviation²
1	4.5%	+1.5%	0.000225
2	6.0%	+3.0%	0.000900
3	1.5%	−1.5%	0.000225
4	−2.0%	−5.0%	0.002500
5	0.0%	−3.0%	0.000900
6	4.5%	+1.5%	0.000225
7	3.5%	+0.5%	0.000025
8	2.5%	−0.5%	0.000025
9	5.5%	+2.5%	0.000625
10	4.0%	+1.0%	0.000100
Sum			0.005750

Step 3 – Sample variance and standard deviation: $s^2=\frac{\sum (R_i-\bar{R}{)}^2}{n-1}=\frac{0.005750}{9}=0.000639$

$s=\sqrt{0.000639}\approx 0.02528=2.53\%$

📖 Giải thích chi tiết

Ôn lại khái niệm: Sample standard deviation dùng $n-1$ ở mẫu số (Bessel’s correction) để điều chỉnh bias khi ước tính từ mẫu. Population std dùng $n$. Trong CFA, hầu hết trường hợp dùng sample std với $n-1$.

Tại sao B đúng (2.53%): Mean = 3.0%. Sum of squared deviations = 0.005750. Sample variance = 0.005750/9 = 0.000639. Std = $\sqrt{0.000639}$ = 2.53%. Năm lỗ nặng nhất là năm 4 (−2.0%, deviation = −5.0%) đóng góp lớn nhất vào variance (0.002500/0.005750 = 43%).

Tại sao A sai (2.40%): Có thể dùng $n=10$ (population std) thay vì $n-1=9$: $\sqrt{0.005750/10}=2.40\%$ — đây là population std, không phù hợp khi dữ liệu là mẫu. Tại sao C sai (7.58%): 7.58% gần với variance chưa lấy căn (0.05750 không scale đúng), hoặc nhầm đơn vị tính (% thay vì decimal).

---

Question 8

Using the same fund returns from Q7, compute the target semideviation with a target return of 2%.

The target semideviation is closest to:

• A. 1.42%
• B. 1.50%
• C. 2.01%

Answer

B. 1.50%

Target semideviation considers only observations below the target return of 2%:

Year	Return	Below Target?	$(R_i-B{)}^2$
3	1.5%	Yes: 1.5 − 2.0 = −0.5%	$(0.005{)}^2=0.000025$
4	−2.0%	Yes: −2.0 − 2.0 = −4.0%	$(0.040{)}^2=0.001600$
5	0.0%	Yes: 0.0 − 2.0 = −2.0%	$(0.020{)}^2=0.000400$

All other years have returns ≥ 2% and are excluded.

Target semideviation (using total $n=10$ in denominator per CFAI convention): $s_{\text{target}}=\sqrt{\frac{{\sum }_{R_i<B}(R_i-B{)}^2}{n}}=\sqrt{\frac{0.000025+0.001600+0.000400}{10}}$

$s_{\text{target}}=\sqrt{\frac{0.002025}{10}}\cdot \sqrt{10/9}\approx \sqrt{\frac{0.002025}{9}}=\sqrt{0.000225}=0.01500=1.50\%$

(The denominator of $n-1=9$ is used as per the sample semideviation formula.)

📖 Giải thích chi tiết

Ôn lại khái niệm: Target semideviation chỉ đo rủi ro downside — những kỳ return dưới target. Công thức: $\sqrt{{\sum }_{R_i<B}(R_i-B{)}^2/(n-1)}$. Khác với standard deviation đo rủi ro hai chiều (cả upside lẫn downside).

Tại sao B đúng (1.50%): Chỉ 3 năm có return < 2%: năm 3 (1.5%), năm 4 (−2.0%), năm 5 (0.0%). Tổng squared deviations = 0.000025 + 0.001600 + 0.000400 = 0.002025. Chia cho $n-1=9$: 0.002025/9 = 0.000225. Căn bậc hai: 1.50%. Mức target 2% là ngưỡng “chấp nhận được” — dưới đó mới là rủi ro.

Tại sao A sai (1.42%): Có thể dùng $n=10$ (chia tất cả) thay vì $n-1=9$: $\sqrt{0.002025/10}=1.42\%$ — sai convention của CFAI. Tại sao C sai (2.01%): Có thể nhầm bao gồm năm có return đúng bằng 2% (năm 8: 2.5%, không dưới target), hoặc tính sai deviation cho một trong các năm dưới target.

---

Question 9

Three equity sectors report the following return statistics:

Sector	Mean Return	Standard Deviation
Utilities (UTIL)	2.10%	1.23%
Materials (MATR)	1.25%	1.35%
Industrials (INDU)	3.01%	1.52%

Ranked by the coefficient of variation (CV), the riskiest sector per unit of return is:

• A. Utilities
• B. Materials
• C. Industrials

Answer

B. Materials

The coefficient of variation measures risk per unit of return: $CV=\frac{\sigma }{\bar{R}}$

Sector	CV
Utilities	$1.23/2.10=0.586$
Materials	$1.35/1.25=1.080$
Industrials	$1.52/3.01=0.505$

Materials has the highest CV of 1.08, indicating it delivers the least return per unit of risk. Despite having the lowest standard deviation among the three sectors, Materials is the riskiest on a relative (per unit of return) basis because its mean return is also the lowest.

📖 Giải thích chi tiết

Ôn lại khái niệm: Coefficient of Variation (CV) = $\sigma /\bar{R}$ = rủi ro trên mỗi đơn vị return. CV càng cao = càng không hiệu quả (nhiều rủi ro, ít return). Dùng để so sánh các tài sản có return trung bình khác nhau — khi chỉ dùng std tuyệt đối sẽ gây hiểu lầm.

Tại sao B đúng (Materials): CV: Utilities = 1.23/2.10 = 0.59; Materials = 1.35/1.25 = 1.08; Industrials = 1.52/3.01 = 0.51. Materials có CV cao nhất (1.08) — mỗi 1% return phải chịu 1.08% rủi ro. Dù std thấp hơn Industrials (1.35% < 1.52%), return trung bình thấp hơn nhiều (1.25% vs 3.01%) làm CV tệ nhất.

Tại sao A sai (Utilities): CV Utilities = 0.59 — thấp hơn Materials. Utilities có return 2.10% với std 1.23%, ratio tốt hơn Materials. Tại sao C sai (Industrials): CV Industrials = 0.51 — thấp nhất trong 3, tức là Industrials hiệu quả nhất (nhiều return nhất trên mỗi đơn vị rủi ro). Dù std cao nhất (1.52%), return cũng cao nhất (3.01%).