m05-portfolio-math

M05 – Portfolio Mathematics: CFAI Practice Problems

Source: CFAI CFA1 Quant Practice 2026, pp.172–173 Back to module: m05-portfolio-math Glossary: M05 Terms

---

Question 1

The joint probability function of returns for a foreign index (FI) and a domestic index (DI) is given below:

Scenario	Probability	$R_{FI}$	$R_{DI}$
1	0.25	25%	30%
2	0.50	15%	25%
3	0.25	10%	15%

The covariance between $R_{FI}$ and $R_{DI}$ is closest to:

• A. 26.39
• B. 26.56
• C. 28.12

Answer

B. 26.56

Step 1 – Expected returns:

$E(R_{FI})=0.25(25\%)+0.50(15\%)+0.25(10\%)$ $E(R_{FI})=6.25+7.50+2.50=16.25\%$

$E(R_{DI})=0.25(30\%)+0.50(25\%)+0.25(15\%)$ $E(R_{DI})=7.50+12.50+3.75=23.75\%$

Step 2 – Covariance calculation:

$\text{Cov}(R_{FI},R_{DI})={\sum }_i{P}_i\cdot [R_{FI,i}-E(R_{FI})]\cdot [R_{DI,i}-E(R_{DI})]$

Scenario	$P_i$	$R_{FI,i}-{\bar{R}}_{FI}$	$R_{DI,i}-{\bar{R}}_{DI}$	Product	$P_i\times$ Product
1	0.25	25 − 16.25 = +8.75	30 − 23.75 = +6.25	54.6875	13.672
2	0.50	15 − 16.25 = −1.25	25 − 23.75 = +1.25	−1.5625	−0.781
3	0.25	10 − 16.25 = −6.25	15 − 23.75 = −8.75	54.6875	13.672

$\text{Cov}(R_{FI},R_{DI})=13.672+(-0.781)+13.672=26.56$

Interpretation: The positive covariance of 26.56 indicates that the foreign and domestic indices tend to move in the same direction — when one index has an above-average return, the other tends to as well. This positive co-movement limits the diversification benefit of combining these two assets.

Note on units: Covariance is expressed in units of (%)², so the covariance is 26.56 (%²). To interpret the strength of the relationship in scale-free terms, compute the correlation coefficient:

${\sigma }_{FI}=\sqrt{\sum P_i(R_{FI,i}-{\bar{R}}_{FI}{)}^2}=\sqrt{0.25(8.75{)}^2+0.50(-1.25{)}^2+0.25(-6.25{)}^2}$ $=\sqrt{19.141+0.781+9.766}=\sqrt{29.688}\approx 5.449\%$

${\sigma }_{DI}=\sqrt{0.25(6.25{)}^2+0.50(1.25{)}^2+0.25(-8.75{)}^2}$ $=\sqrt{9.766+0.781+19.141}=\sqrt{29.688}\approx 5.449\%$

${\rho }_{FI,DI}=\frac{26.56}{5.449\times 5.449}=\frac{26.56}{29.69}\approx 0.895$

The high positive correlation (~0.90) confirms strong co-movement between the two indices.

📖 Giải thích chi tiết

Ôn lại khái niệm: Covariance từ joint probability function được tính theo công thức: Cov(X,Y) = Σ Pᵢ × (Xᵢ − E(X)) × (Yᵢ − E(Y)). Quy trình gồm hai bước: tính expected return của từng tài sản trước, rồi mới tính covariance. Covariance dương cho biết hai tài sản có xu hướng cùng chiều, làm giảm diversification benefit.

Tại sao B (26.56) đúng: E(R_FI) = 16.25%, E(R_DI) = 23.75%. Cov = 0.25×(8.75)(6.25) + 0.50×(−1.25)(1.25) + 0.25×(−6.25)(−8.75) = 13.672 − 0.781 + 13.672 = 26.56. Correlation ≈ 0.895 — co-movement rất cao giữa hai index. Tại sao A (26.39) sai: Kết quả này xuất hiện nếu làm tròn sai trong quá trình tính deviation — ví dụ làm tròn E(R_FI) thành 16% hoặc E(R_DI) thành 24% trước khi tính, dẫn đến sai số tích lũy. Tại sao C (28.12) sai: Có thể do dùng sai trọng số (ví dụ gán P = 1/3 đều nhau cho mỗi scenario thay vì 0.25/0.50/0.25), hoặc quên nhân với Pᵢ ở một trong các term.