Practice: M04 — Probability

Module: M04 Formulas: Probability Formulas Glossary: M04 Terms

---

Question 1: Himari Fukumoto is selecting mutual funds from 10 available. She plans to select 4. How many different sets can she choose?

A. 210 B. 720 C. 5,040

Answer

A. Order doesn’t matter → Combination: $C(10,4)=\frac{10!}{4!\times 6!}=210$

📖 Giải thích chi tiết

Ôn lại khái niệm: Combination dùng khi chọn $k$ phần tử từ $n$ phần tử mà thứ tự không quan trọng. Ngược lại, Permutation dùng khi thứ tự quan trọng.

Tại sao A đúng: Himari chọn 4 quỹ từ 10, không quan tâm thứ tự (tập hợp quỹ A, B, C, D giống với D, C, B, A). Áp dụng combination: $C(10,4)=\frac{10!}{4!\times 6!}=\frac{10\times 9\times 8\times 7}{4\times 3\times 2\times 1}=210$.

Tại sao B sai: 720 = $P(10,3)$ hoặc $6!$ — không phải combination 4 từ 10.

Tại sao C sai: 5,040 = $P(7,4)=7!/(7-4)!$ — đây là permutation, nghĩa là nếu thứ tự chọn quỹ quan trọng.

Mẹo nhớ: “Combination” → không quan tâm thứ tự → chia thêm $k!$ để loại bỏ các hoán vị trùng nhau.

---

Question 2: $P(B)=0.5$, $P(AB)=0.1$. What is $P(A|B)$?

Answer

$P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}=\frac{0.1}{0.5}=0.2$ or 20%

📖 Giải thích chi tiết

Ôn lại khái niệm: Conditional probability $P(A|B)$ là xác suất xảy ra A biết rằng B đã xảy ra. Công thức: $P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$.

Tại sao đáp án đúng: Thay số trực tiếp: $P(A|B)=\frac{0.1}{0.5}=0.20$. Ý nghĩa: trong không gian xác suất đã thu hẹp về B (xác suất 0.5), tỷ lệ giao nhau A và B là 0.1 — tức 20% trong không gian đó.

Lưu ý quan trọng: $P(A|B)\ne P(B|A)$. Đây là lỗi logic phổ biến. $P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}$ — cần biết $P(A)$ để tính (bài không cho). Nhầm lẫn này gọi là “base rate fallacy”.

---

Question 3: $P(I)=0.4$ (interest rate increase), $P(R)=0.34$ (recession), $P(RI)=0.28$. What is $P(R\text{ or }I)$?

Answer

Not mutually exclusive: $P(R\cup I)=P(R)+P(I)-P(RI)=0.34+0.40-0.28=0.46$

📖 Giải thích chi tiết

Ôn lại khái niệm: Addition rule (quy tắc cộng xác suất): $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$. Phải trừ đi phần giao nhau để tránh đếm hai lần. Nếu hai sự kiện loại trừ nhau (mutually exclusive) thì $P(A\cap B)=0$ và công thức đơn giản thành $P(A)+P(B)$.

Tại sao đáp án đúng: Suy thoái và tăng lãi suất có thể xảy ra đồng thời → không loại trừ nhau → phải áp dụng công thức đầy đủ. $P(R\cup I)=0.34+0.40-0.28=0.46$.

Bẫy thường gặp: Nếu cộng thẳng $0.34+0.40=0.74$ mà không trừ phần giao, kết quả vượt quá xác suất thực vì trường hợp “vừa suy thoái vừa tăng lãi suất” bị tính hai lần.

---

Question 4: A random variable $X=\{5,10\}$ with $P(5)=40\%$, $P(10)=60\%$. Calculate $E(X)$, ${\sigma }^2(X)$, $\sigma (X)$.

Answer

$E(X)=0.4\times 5+0.6\times 10=8$ ${\sigma }^2=0.4(5-8{)}^2+0.6(10-8{)}^2=0.4(9)+0.6(4)=6$ $\sigma =\sqrt{6}\approx 2.45$

📖 Giải thích chi tiết

Ôn lại khái niệm: Expected value $E(X)$ là trung bình có xác suất làm trọng số: $E(X)=\sum p_i{x}_i$. Variance ${\sigma }^2$ đo mức độ phân tán quanh kỳ vọng: ${\sigma }^2=\sum p_i(x_i-E(X){)}^2$.

Tại sao đáp án đúng:

• $E(X)=0.4(5)+0.6(10)=2+6=8$ — kỳ vọng nghiêng về 10 vì xác suất 60% cao hơn.
• ${\sigma }^2=0.4(5-8{)}^2+0.6(10-8{)}^2=0.4(9)+0.6(4)=3.6+2.4=6$
• $\sigma =\sqrt{6}\approx 2.45$

Lưu ý về variance: Phương sai luôn không âm vì dùng bình phương độ lệch. Standard deviation $\sigma$ có cùng đơn vị với $X$, trong khi variance có đơn vị bình phương — vì vậy standard deviation dễ giải thích hơn trong thực tế.