Practice: M05 — Portfolio Mathematics

Module: M05 Formulas: Portfolio Math Formulas Glossary: M05 Terms

---

Question 1: Portfolio: 30% stocks ($\sigma =20\%$), 70% bonds ($\sigma =12\%$), $\rho =0.6$. Calculate portfolio standard deviation.

Answer

${\sigma }_p^2=(0.3{)}^2(0.20{)}^2+(0.7{)}^2(0.12{)}^2+2(0.3)(0.7)(0.20)(0.12)(0.6)$ $=0.0036+0.00706+0.00605=0.01671$ ${\sigma }_p=\sqrt{0.01671}=12.92\%$

📖 Giải thích chi tiết

Ôn lại khái niệm: Portfolio variance của danh mục 2 tài sản: ${\sigma }_p^2=w_1^2{\sigma }_1^2+w_2^2{\sigma }_2^2+2w_1{w}_2{\sigma }_1{\sigma }_2{\rho }_{12}$. Số hạng thứ ba (số hạng tương tác) phụ thuộc vào correlation — đây là nguồn gốc của lợi ích đa dạng hóa.

Tại sao đáp án đúng: Thay số: $(0.3{)}^2(0.20{)}^2=0.0036$; $(0.7{)}^2(0.12{)}^2=0.007056$; số hạng tương tác $=2(0.3)(0.7)(0.20)(0.12)(0.6)=0.006048$. Tổng = $0.01670\to {\sigma }_p=12.92\%$.

Điểm quan trọng về đa dạng hóa: Weighted average std dev = $0.3(20\%)+0.7(12\%)=14.4\%$. Portfolio std dev thực tế 12.92% thấp hơn mức trung bình có trọng số — đây chính là lợi ích đa dạng hóa. Nếu $\rho =1$, portfolio std dev sẽ đúng bằng 14.4%.

---

Question 2: A client has £1,350,000 portfolio and wants to withdraw £50,000 without reducing principal. The shortfall level $R_L=\frac{50,000}{1,350,000}=3.70\%$.

Allocation	A	B	C	D
$E(R)$	16%	12%	10%	9%
$\sigma$	24%	17%	12%	11%

Which allocation is best by Safety-First criterion?

Answer

$SFRati{o}_A=\frac{16-3.70}{24}=0.513$ $SFRati{o}_B=\frac{12-3.70}{17}=0.488$ $SFRati{o}_C=\frac{10-3.70}{12}=0.525$ ← Highest $SFRati{o}_D=\frac{9-3.70}{11}=0.482$ Allocation C — highest SFRatio minimizes probability of shortfall.

📖 Giải thích chi tiết

Ôn lại khái niệm: Roy’s Safety-First Criterion chọn danh mục có xác suất thấp nhất để lợi nhuận rơi xuống dưới mức tối thiểu (shortfall level $R_L$). SFRatio = $\frac{E(R_p)-R_L}{{\sigma }_p}$ — giống Sharpe ratio nhưng thay risk-free rate bằng shortfall level.

Tại sao C đúng: Shortfall level = $50,000/\pounds 1,350,000=3.70\%$. Tính SFRatio cho 4 phương án, Allocation C đạt cao nhất (0.525). SFRatio cao hơn → khoảng cách giữa expected return và $R_L$ lớn hơn so với rủi ro → xác suất shortfall thấp hơn.

Lưu ý: Allocation A có expected return cao nhất (16%) nhưng SFRatio thấp hơn C vì độ biến động rất lớn (24%). Đây là ví dụ điển hình: lợi nhuận cao không tự động là tốt nhất cho mục tiêu bảo toàn vốn. Cần cân bằng giữa return và risk so với threshold.

---

Question 3: If two assets have $\rho =-1$, the portfolio standard deviation:

A. Is always zero B. Can be reduced to zero with the right weights C. Equals the weighted average of individual standard deviations

Answer

B. With $\rho =-1$, there exist weights that make ${\sigma }_p=0$ (perfect negative correlation allows full risk elimination).

📖 Giải thích chi tiết

Ôn lại khái niệm: Correlation hoàn hảo âm ($\rho =-1$) là trường hợp lý tưởng nhất của đa dạng hóa. Khi đó tồn tại một bộ trọng số cụ thể để ${\sigma }_p=0$, nghĩa là toàn bộ rủi ro được triệt tiêu.

Tại sao B đúng: Với $\rho =-1$, công thức portfolio std dev trở thành: ${\sigma }_p=|w_1{\sigma }_1-w_2{\sigma }_2|$. Đặt bằng 0: $w_1=\frac{{\sigma }_2}{{\sigma }_1+{\sigma }_2}$ và $w_2=\frac{{\sigma }_1}{{\sigma }_1+{\sigma }_2}$. Các trọng số này luôn tồn tại và hợp lệ (dương, tổng = 1).

Tại sao A sai: Không phải luôn luôn bằng 0 — chỉ bằng 0 với đúng bộ trọng số xác định. Với trọng số khác, ${\sigma }_p>0$ ngay cả khi $\rho =-1$.

Tại sao C sai: ${\sigma }_p$ bằng weighted average chỉ khi $\rho =+1$ (tương quan dương hoàn hảo — không có lợi ích đa dạng hóa). Đây là trường hợp tệ nhất.

Thực tế: Trong thị trường thực, $\rho =-1$ gần như không tồn tại — nhưng assets với correlation âm (như trái phiếu và cổ phiếu trong một số giai đoạn) vẫn mang lại lợi ích đa dạng hóa đáng kể.