m04-arbitrage-replication

M04 – Arbitrage, Replication, and the Cost of Carry — CFAI Practice Problems

Source: CFAI CFA1 Derivatives Practice 2026 – Volume 7 Back to module: m04-arbitrage-replication Glossary: M04 Terms

---

Question 1

The law of one price states that:

• A. all assets in the same asset class must have the same expected return.
• B. two assets or portfolios with identical future cash flows must sell for the same price today.
• C. the price of an asset must equal its book value in an efficient market.

Answer

B. two assets or portfolios with identical future cash flows must sell for the same price today.

The law of one price is a foundational principle of derivative pricing: if two assets produce identical cash flows in all future states of the world, they must have the same current price. If they do not, an arbitrage opportunity exists — market participants would buy the cheaper asset and sell the more expensive one until prices converge.

📖 Giải thích chi tiết

Tại sao B đúng: Law of one price: hai tài sản/portfolio có cùng cash flows trong mọi tình huống tương lai → phải có cùng giá hiện tại. Nếu giá khác nhau → cơ hội arbitrage → thị trường sẽ tự điều chỉnh. Tại sao A sai: Law of one price nói về giá, không phải expected return. Các tài sản cùng asset class có thể có expected return khác nhau tùy rủi ro riêng. Tại sao C sai: Giá thị trường không nhất thiết bằng book value. Law of one price so sánh hai tài sản có cùng cash flows, không phải so sánh giá với book value.

---

Question 2

An analyst observes that an asset trades at different prices on two exchanges at the same time. The analyst can most likely earn a risk-free profit by:

• A. buying on the exchange with the higher price and selling on the exchange with the lower price.
• B. buying on the exchange with the lower price and selling on the exchange with the higher price.
• C. buying on both exchanges simultaneously and waiting for prices to converge.

Answer

B. buying on the exchange with the lower price and selling on the exchange with the higher price.

This is a classic arbitrage opportunity. The analyst buys the asset where it is cheap and simultaneously sells it where it is expensive, locking in a risk-free profit equal to the price difference (minus transaction costs). Arbitrage requires no net investment and no risk — the positions offset each other.

📖 Giải thích chi tiết

Tại sao B đúng: Arbitrage = buy low, sell high đồng thời trên hai thị trường:

• Mua ở sàn giá thấp → chi phí thấp
• Bán ở sàn giá cao → thu nhập cao
• Lợi nhuận = chênh lệch giá (trừ transaction costs) → risk-free

Tại sao A sai: Mua giá cao, bán giá thấp → thua lỗ chắc chắn — ngược hoàn toàn với arbitrage. Tại sao C sai: Mua ở cả hai sàn → có net long position → chịu rủi ro giá giảm. Arbitrage yêu cầu vị thế đối nghịch (mua ở sàn này, bán ở sàn kia).

---

Question 3

A forward contract on a non-dividend-paying stock can be replicated by:

• A. buying the stock today and borrowing the purchase price at the risk-free rate.
• B. selling the stock short today and lending the proceeds at the risk-free rate.
• C. buying a call option and selling a put option with the same strike price.

Answer

A. buying the stock today and borrowing the purchase price at the risk-free rate.

A long forward can be replicated by: (1) buying the underlying asset at its current spot price $S_0$, and (2) borrowing $S_0$ at the risk-free rate $r$ for the contract period $T$. At expiration, the investor owns the asset and owes $S_0\times (1+r{)}^T$, which replicates the payoff of a long forward with forward price $F_0=S_0\times (1+r{)}^T$.

📖 Giải thích chi tiết

Tại sao A đúng: Replication of long forward:

• Bước 1: Mua stock ở giá $S_0$ (spot price)
• Bước 2: Vay $S_0$ với lãi suất $r$ trong thời gian $T$
• Tại thời điểm $T$: có stock (giá trị = $S_T$), nợ $S_0(1+r{)}^T$
• Payoff = $S_T-S_0(1+r{)}^T$ → giống long forward với $F_0=S_0(1+r{)}^T$

Tại sao B sai: Short stock + lend = replication of short forward, không phải long forward. Tại sao C sai: Long call + short put = synthetic forward (qua put-call parity), nhưng câu hỏi hỏi về replication bằng spot + borrowing — phương pháp cơ bản nhất.

---

Question 4

According to the cost of carry model, the forward price of an asset is given by:

$F_0=S_0\times (1+r{)}^T$

This formula assumes the underlying asset has:

• A. continuous dividend payments and storage costs.
• B. no interim cash flows, no benefits, and no carrying costs other than financing.
• C. a convenience yield that exceeds the risk-free rate.

Answer

B. no interim cash flows, no benefits, and no carrying costs other than financing.

The basic cost of carry formula $F_0=S_0\times (1+r{)}^T$ applies to an asset with no carrying costs beyond the financing cost (risk-free rate) and no benefits (dividends, coupon payments, convenience yield). If the asset had benefits or costs, the formula would adjust to: $F_0=S_0\times (1+r{)}^T-\text{FV(Benefits)}+\text{FV(Costs)}$.

📖 Giải thích chi tiết

Tại sao B đúng: Công thức cơ bản $F_0=S_0(1+r{)}^T$ giả định:

• Không có interim cash flows (cổ tức, coupon)
• Không có benefits (convenience yield)
• Không có carrying costs khác ngoài chi phí tài trợ (financing = lãi suất $r$)
• Ví dụ: cổ phiếu không trả cổ tức, vàng không có storage cost

Tại sao A sai: Nếu có dividend và storage costs, công thức phải điều chỉnh: $F_0=(S_0+\text{FV(Costs)}-\text{FV(Benefits)})\times (1+r{)}^T$ hoặc tương đương. Tại sao C sai: Convenience yield là một benefit → làm giảm forward price so với công thức cơ bản. Công thức trên không bao gồm convenience yield.

---

Question 5

A commodity has a spot price of $100, the annual risk-free rate is 5%, and the contract expires in one year. The commodity has annual storage costs of $3 (paid at end of year) and provides a convenience yield with a present value of $2. The net cost of carry and the theoretical forward price are closest to:

• A. Net cost of carry = $6; Forward price = $106.
• B. Net cost of carry = $8; Forward price = $108.
• C. Net cost of carry = $3; Forward price = $103.

Answer

A. Net cost of carry = $6; Forward price = $106.

Step 1: Financing cost = S_0 \times r = 100 \times 0.05 = \5 **Step 2:** Storage costs = \3 Step 3: Total carrying costs = 5 + 3 = \8$\ast \ast Step4:\ast \ast Benefits=convenienceyieldFV=$2 \times (1.05) = $2.10 \approx $2$\ast \ast Step5:\ast \ast Netcostofcarry=Totalcosts-Benefits=$8 - 2 = $6$\ast \ast Step6:\ast \ast Forwardprice=$S_0 + \text{Net cost of carry} = 100 + 6 = $106$

Alternatively: F_0 = S_0(1+r)^T + \text{FV(Storage)} - \text{FV(Convenience yield)} = 105 + 3 - 2.10 \approx \106$.

📖 Giải thích chi tiết

Công thức cost of carry mở rộng: $F_0=S_0(1+r{)}^T+\text{FV(Costs)}-\text{FV(Benefits)}$

Tính toán chi tiết:

• S_0 = \100$,$r = 5%$,$T = 1$ năm
• Financing cost: 100 \times 0.05 = \5$
• Storage cost (cuối năm): $3
• Convenience yield PV = $2 → FV = 2 \times 1.05 = \2.10$
• F_0 = 105 + 3 - 2.10 = \105.90 \approx $106$

Net cost of carry = (financing + storage) − benefits = (5 + 3) - 2 = \6$

Tại sao B sai: $108 không trừ convenience yield — quên benefit. Tại sao C sai: $103 chỉ tính storage cost, quên financing cost.